一句话总结

因斯布鲁克大学的研究人员证明，用共享经典随机性——通过一个控制空间分离的局部泡利操作的单个随机比特实现——增强浅层、有限连通性的幺正玻恩模型，能够建立严格的、可扩展的表示分离，其方式是生成纯幺正浅层模型无法复现的长程相关性，并且在一维架构中可能需要深度 $\Omega(N)$Ω(N)。

核心贡献

• 用共享经典随机性，具体来说是由单个随机比特控制的空间分离的局部泡利操作，增强浅层、有限连通性的幺正电路，通过生成纯幺正浅层模型在相同深度和连通性下无法复现的长程相关性，创造了严格且可扩展的表示分离。
• 对于一维最近邻架构，用纯幺正模型复现此类分布在最坏情况下需要深度 Ω(N)。
• 基于测量的量子计算为所需的共享经典随机性提供了一种自然的实现方式，并且在基于 MBQC 的生成模型上的数值实验支持了分析结果。

引言

量子生成模型，如量子电路玻恩机，能产生经典难以模拟的分布，但其表达能力在近期设备中受到有限电路深度和局域量子比特连通性的严重制约。浅层局域电路无法在远距离量子比特之间建立相关性，因为信息传播被限制在有限的空间范围内，而此前试图通过电路中测量和前馈来克服这一问题的尝试会引入实验开销。作者证明，仅凭共享经典随机性，无需额外的量子深度、长程门或自适应操作，就能严格扩大浅层局域量子生成模型可访问的输出分布族。他们构建了一个随机信道模型，其中一个可调的共享泡利串协调空间分离量子比特上的局域泡利门，从而产生纯幺正玻恩模型在相同深度和连通性下无法复现的长程相关性。

数据集

本文并未引入传统意义上的新数据集。相反，作者提供了支持该研究理论和数值发现的代码和数值数据。这些材料可在某个仓库中获取（论文中给出了链接）。这项工作主要是理论性的，证明了量子生成建模中幺正模型与关联信道模型之间的浅层深度分离，数值实验依赖于合成构造而非真实世界数据。因此，没有数据集组成、过滤或训练集划分需要描述。

方法

作者提出了一种量子生成模型，该模型用共享经典随机性增强浅层局域幺正电路，以提升表达能力。该方法建立在一个通用的砖墙式幺正电路架构之上，随后被扩展为信道模型，并在基于测量的框架中原生实现。

通用砖墙式幺正电路与信道电路

该模型的基础是一个作用于 $N$N 个量子比特的浅层一维局域量子电路，由 $D$D 层组成。幺正算符定义为 $U(\boldsymbol{\theta}) = U_D(\boldsymbol{\theta}_D) \dots U_1(\boldsymbol{\theta}_1)$U(θ)=UD​(θD​)…U1​(θ1​)，其中每一层由作用于最近邻键的参数化双量子比特门组成。这些层在作用于不相交的偶数和奇数键的子层之间交替，形成砖墙式结构。

为了扩展这个幺正模型，作者引入了关联的随机泡利操作。一个泡利串 $P_{\mathcal{M}}$PM​ 由单个经典伯努利变量 $s \in \{0, 1\}$s∈{0,1} 控制。该变量决定了是否在电路层之间的特定插入位置对整个泡利串作用于量子比特子集 $\mathcal{M}$M。这创建了一个空间关联的随机操作。由此产生的信道模型 $\mathcal{E}_{\boldsymbol{\theta}, p}$Eθ,p​ 是幺正分支的凸组合，其中泡利串以概率 $p$p 应用，以概率 $1-p$1−p 省略。

如下图所示：

该图展示了这种方法的优势。标准浅层电路（图 b）对于远距离可观测量 $\hat{Z}_1$Z^1​ 和 $\hat{Z}_6$Z^6​ 具有不相交的后向光锥，导致协方差为零，而用共享随机性增强的浅层电路（图 c）可以在这些远距离量子比特之间产生非零协方差。这种能力模仿了深层电路（图 a）的长程相关性生成，而无需增加电路深度。

学习模型架构

对于显式学习模型，作者指定了一个深度为 $D$D 的电路，其中每一层 $k$k 由最近邻纠缠旋转 $R_{zz}$Rzz​ 以及随后的局域单量子比特旋转 $R_z$Rz​ 和 $R_x$Rx​ 组成。层幺正算符由下式给出：

$$U_k(\boldsymbol{\theta}_k) = \bigotimes_{i=1}^N R_x(\theta_i^{k,x}) \bigotimes_{i=1}^N R_z(\theta_i^{k,z}) \prod_{i=1}^{N-1} R_{zz}(\theta_{i,i+1}^{k,zz})$$Uk​(θk​)=i=1⨂N​Rx​(θik,x​)i=1⨂N​Rz​(θik,z​)i=1∏N−1​Rzz​(θi,i+1k,zz​)

一个共享经典比特 $s^l \sim \text{Bernoulli}(p^l)$sl∼Bernoulli(pl) 控制着在层 $U_l$Ul​ 和 $U_{l+1}$Ul+1​ 之间插入随机泡利-Z 串 $Z_{\mathcal{M}}^{s^l}$ZMsl​。该串同时作用于量子比特子集 $\mathcal{M}$M。

参考框架图：

该图详细描述了学习模型的结构。输入态 $|\alpha\rangle^{\otimes N}$∣α⟩⊗N 经过参数化层 $U_l$Ul​。在指定的位置，插入随机泡利串 $Z_{\mathcal{M}}^{s^l}$ZMsl​。共享随机变量 $s^l$sl 确保子集 $\mathcal{M}$M 上的局域 Z 操作要么联合应用，要么全部省略，从而在电路演化中创建关联分支。

端点泡利校正

为了确保随机泡利串能够非平凡地修改电路动力学，而不仅仅是重新标记最终的测量结果，采用了端点校正程序。插入的泡利串通过后续层 $U_{>l}(\boldsymbol{\theta})$U>l​(θ) 进行传播。在传播过程中，对易的门保持不变，而反对易的泡利旋转的旋转角度会发生符号翻转。具体来说，如果算符反对易，则 $P_{\mathcal{M}}^{s^l} \exp(-i\theta Q) = \exp(-i(-1)^{s^l}\theta Q) P_{\mathcal{M}}^{s^l}$PMsl​exp(−iθQ)=exp(−i(−1)slθQ)PMsl​。

在输出端附加一个最终的泡利校正层，以消除累积的泡利串。由于最终的泡利串在计算基下是对角的（对于 Z 串）或被显式校正，它不会改变输出概率。因此，随机泡利串的有效作用被简化为依赖于分支的旋转角度符号翻转。

如下图所示：

图 (a) 描绘了在层 $l$l 之后插入随机泡利串，并在输出端再次应用以进行校正的模型。图 (b) 展示了等效的有效模型，其中传播导致后续幺正算符 $U_{>l}$U>l​ 中的角度 $\tilde{\boldsymbol{\theta}}$θ~ 发生随机翻转，而最终的泡利串被移除。

VMBQC 中的原生实现

作者证明，这种关联信道模型可以在变分测量基量子计算 (VMBQC) 中原生实现。在 MBQC 中，计算是通过在纠缠资源态（如团簇态）上执行自适应单量子比特测量来进行的。测量结果会诱导出泡利副产品。标准 MBQC 通过经典前馈来校正这些副产品。

作者引入了一种有效的经典控制机制，可以以可调概率 $p^l$pl 故意保留或引入副产品（反校正）。通过处理原始测量结果，单个共享二进制变量 $s^l$sl 可以控制作用于空间分离量子比特子集的集体泡利副产品 $Z_{\mathcal{M}}^{s^l}$ZMsl​。

参考框架图：

该图展示了一个 $4 \times 3$4×3 的团簇态及其等效电路表示。图 (a) 显示了独立随机性，其中不同的经典变量控制不同量子比特上的副产品（$Z_1^{s_1^1}$Z1s11​​ 和 $Z_4^{s_4^1}$Z4s41​​）。图 (b) 显示了共享随机性，其中单个变量 $s^1$s1 控制空间分离的边界量子比特上的关联副产品（$Z_1^{s^1}$Z1s1​ 和 $Z_4^{s^1}$Z4s1​），原生地实现了关联信道模型。

为了准备学习模型所需的特定乘积输入态 $|\alpha\rangle^{\otimes N}$∣α⟩⊗N，在团簇态上附加了一列辅助量子比特。

如下图所示：

辅助列 (A) 初始化为 $|+\rangle$∣+⟩ 态，并在 $\{|\pm_\alpha\rangle\}${∣±α​⟩} 基下进行测量。在应用相应的副产品校正后，态 $R_x(\alpha)|0\rangle$Rx​(α)∣0⟩ 被隐形传态到第一个计算列 (B) 的每个量子比特上，从而有效地为后续电路层准备了所需的输入态 $|\psi_{\text{in}}\rangle = (R_x(\alpha)|0\rangle)^{\otimes N}$∣ψin​⟩=(Rx​(α)∣0⟩)⊗N。

训练过程

该模型使用平方最大均值差异 (MMD) 作为损失函数 $\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{p})$L(θ,p) 进行训练。这种隐式损失使用核函数 $K(x,y)$K(x,y) 量化模型输出分布 $P_{\mathcal{E}_{(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{p})}}$PE(θ,p)​​ 与目标分布 $Y$Y 之间的距离：

$$\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{p}) = \mathbb{E}_{x,y \sim P}[K(x,y)] - 2\mathbb{E}_{x \sim P, y \sim Y}[K(x,y)] + \mathbb{E}_{x,y \sim Y}[K(x,y)]$$L(θ,p)=Ex,y∼P​[K(x,y)]−2Ex∼P,y∼Y​[K(x,y)]+Ex,y∼Y​[K(x,y)]

训练涉及同时更新电路参数 $\boldsymbol{\theta}$θ 和应用概率 $\boldsymbol{p}$p。关于概率 $p^l$pl 的梯度通过两次评估损失来计算：一次 $p^l=1$pl=1，一次 $p^l=0$pl=0，同时保持其他参数不变。关于变分角度 $\theta$θ 的梯度使用标准参数偏移规则进行评估。这使得模型能够联合学习幺正演化和最优的随机分支概率，以逼近目标分布。

实验

分析结果证明，对于一维最近邻电路，具有共享随机性的关联信道模型可以生成任何浅层深度幺正电路都无法达到的输出分布，需要与量子比特间距成线性关系的深度才能匹配。这种分离扩展到所有有限范围的局域架构，并且可以在基于测量的量子计算中原生实现。在一个针对双分支混合分布的 6 量子比特、深度为 2 的电路上进行的数值实验验证了这种表示优势，信道模型实现了显著更低的训练损失和比纯幺正基线更小的变异性。