一句话总结

本研究探讨了受分数阶非线性薛定谔方程支配的（2+1）维光学系统中圆型艾里高斯涡旋光束（CAGVBs）的传播动力学，展示了分数阶衍射莱维指数α、分布因子、输入功率和拓扑电荷如何调制自聚焦特性、诱导向外加速与自散焦，并决定包含正涡旋对的离轴光束的传播行为。

核心贡献

• 分析了分数阶非线性薛定谔方程系统中圆型艾里高斯涡旋光束的传播特性，表明增加分数阶衍射莱维指数会减弱突变自聚焦效应、扩大光束半径并缩短自聚焦长度。
• 考察了输入功率和拓扑电荷在决定自聚焦特性中的作用，同时表征了分布因子对自聚焦长度的影响，并分析了观测到的自散焦与向外加速动力学。
• 研究了包含正涡旋对的离轴圆型艾里高斯涡旋光束的传播特征，揭示了其在分数阶非线性光学系统中的独特行为特性。

引言

分数阶量子力学与分数阶非线性薛定谔方程（FNSE）为模拟光学系统中的异常波传播提供了稳健的理论框架，这对推进非线性光子学与精密光束控制至关重要。尽管前期在分数阶薛定谔方程、标准艾里光束及涡旋孤子方面已有大量研究，但在FNSE框架下自聚焦圆型艾里高斯涡旋光束（CAGVBs）的传播动力学仍完全未被探索。现有研究尚未阐明分数阶莱维指数如何影响CAGVB的稳定性或其自散焦行为。为填补这一空白，本研究构建了一个理论模型以模拟轴向与离轴CAGVB的传播。研究证明，调节莱维指数能够实现对自聚焦与自散焦动力学的精确控制，从而为工程化光场调控提供新方法。

数据集

• 数据集构成与来源：提供的文本中未包含任何数据集构成或来源信息，仅列出了作者姓名与机构隶属关系。
• 各子集关键细节：未列出任何子集规模、来源或过滤规则。
• 数据使用与处理：未描述数据如何划分用于训练、使用了何种混合比例或具体处理流程。
• 裁剪策略与元数据：文本中未包含关于裁剪方法、元数据构建或额外预处理步骤的信息。

方法

本研究探讨了受分数阶非线性薛定谔方程（FNSE）支配的（2+1）维光学系统中圆型艾里高斯涡旋光束（CAGVBs）的传播动力学。该理论框架基于一个同时纳入分数阶衍射与非线性效应的模型，使得在不同条件下分析光束行为成为可能。FNSE的表述如下：

其中 $u$u 代表光波的复振幅，$z$z 为纵向传播距离，$k = 2\pi/\lambda$k=2π/λ 为波数，$\lambda$λ 为波长，$\alpha$α 为莱维指数，取值范围为 $1 < \alpha \leq 2$1<α≤2。横向坐标 $x$x 和 $y$y 经过缩放，$n_0$n0​ 和 $n_2$n2​ 分别表示真空折射率与克尔介质的非线性系数。分数阶衍射算符通过傅里叶空间中的积分表达式定义，哈密顿算符 $H_\alpha$Hα​ 表示为：

初始场在极坐标 $(r, \phi)$(r,ϕ) 下被设定为CAGVB，表达式为：

其中 $A_0$A0​ 为振幅，$\text{Ai}(\cdot)$Ai(⋅) 为艾里函数，$r_0$r0​ 为主艾里环半径，$w$w 为缩放因子，$b$b 为分布因子，$0 \leq d < 1$0≤d<1 为指数截断因子，$\phi$ϕ 为方位角，$m$m 为拓扑荷。正负号分别对应向内与向外加速，本研究主要聚焦于向内加速情形。由于FNSE具有非解析特性，采用数值方法求解该方程。利用快速傅里叶变换（FFT）方法计算电场 $u(r, \phi, z)$u(r,ϕ,z) 的传播过程。

如图所示，CAGVBs的传播动力学通过不同轴向位置的强度分布进行可视化，揭示了突变自聚焦行为。光束首先发生扩散，随后汇聚至焦点区域，其聚焦特性受莱维指数 $\alpha$α 与分布因子 $b$b 的影响。强度分布从环状结构演变为紧密焦点，展现了分数阶衍射与非线性效应之间的相互作用。

研究进一步分析了光束强度分布及其对应三维表示的演化过程。沿传播方向的强度峰值发生偏移并变得尖锐，表明了自聚焦效应。三维渲染突出了光束传播过程中的锥形结构，强度在特定轴向位置集中。以 $z/Z_R$z/ZR​ 为函数的强度分布呈现出尖锐峰值，证实了突变自聚焦现象。仿真参数设置为 $\alpha = 1.5$α=1.5，$m = 1$m=1，$n_0 = 1.45$n0​=1.45，$b = 0.1$b=0.1，$\lambda = 532 \times 10^{-6}$λ=532×10−6 mm，$d = 0.1$d=0.1，$r_0 = 1$r0​=1 mm，$w = 1$w=1 mm，以及 $n_2 = 2.6 \times 10^{-16}$n2​=2.6×10−16 cm² W⁻¹，由此得到的自聚焦临界功率 $P_{cr}$Pcr​ 可支持可观测的自聚焦现象。

框架图展示了光束传播过程中的强度分布，颜色标尺表示强度等级。光束表现出逐渐汇聚后形成尖锐焦点的特征，这正是突变自聚焦效应的典型表现。传播距离以瑞利距离 $Z_R = k w^2 / 2$ZR​=kw2/2 进行归一化，便于在不同参数间进行一致性比较。结果表明，随着 $\alpha$α 的增加，自聚焦效应减弱且聚焦长度缩短；而较大的分布因子 $b$b 则导致自聚焦长度增加。拓扑荷 $m$m 与输入功率在决定光束自聚焦特性方面也发挥重要作用，较高数值会影响聚焦动力学及涡旋结构的形成。带有正涡旋对的离轴CAGVBs进一步展现出复杂的传播特征，包括自散焦行为，这些均在强度演化图中得到体现。

实验

采用分步傅里叶方法的数值模拟评估了分数阶非线性薛定谔光学系统中CAGVB的传播，验证了分数阶衍射与非线性自聚焦效应之间的基本相互作用。轴向实验证实，非线性光学力能够抵消衍射效应，产生带有持续中心空心通道的尖锐自聚焦；而莱维指数、分布因子和输入功率的系统性变化则定性调节了聚焦强度与焦距。针对向外加速与离轴涡旋对的补充测试表明，该系统能够可靠地诱导可控的自散焦与光束旋转动力学，同时保持轨道角动量稳定性。综上所述，这些发现确立了FNSE框架能够实现基于参数的精确结构化光场操控，为光通信与精密材料加工提供了多功能平台。