一句话总结

本文提出了一种基于像素簇二进制层级的数字图像像素信息量的整数值估计方法，开发了构建这些层级以及生成以标准差最小化差异的图像近似层级序列的方法，并通过实验将所得估计值与经典公式得出的结果进行了比较。

核心贡献

• 通过构建像素簇的二进制层级，为单个图像像素定义了整数值信息量，从而解决了经典香农和哈特利估计中输出非整数的问题。该量化指标符合隐写术嵌入容量要求及最优图像分割框架。
• 开发了构建簇层级以及生成以标准差最小化差异的图像近似层级序列的方法。该框架将结构分析简化为拟最优近似中的段约简操作。
• 通过实验评估将提出的整数值估计与经典连续公式进行对比，验证了其在隐写术应用和图像结构分析中的合理性。结果证实该指标可作为对数字图像信息单元进行量化的可靠替代方案。

引言

数字图像处理依赖于精确的信息量化，尤其在隐写术和图像分割领域，像素作为离散存储单元发挥着关键作用。传统的哈特利和香农公式会产生实数输出，这与比特的离散特性相冲突，并阻碍了实际嵌入容量的评估。本文通过引入基于像素簇二进制层级的整数值估计框架来解决这一局限性。相关算法被开发用于构建这些层级并生成最优图像近似，通过经典方法验证了该离散指标，并为隐写数据存储和高效图像划分奠定了实践基础。

方法

本文采用层级化方法，通过对像素簇进行二进制分解来建模图像信息量，构成了该方法的基础。该框架首先将均匀簇（具有相同强度的像素集合）视为不可分割的基本单元。通过根据平均强度差异将非均匀簇递归划分为两个子簇，构建出二进制层级，从而实现对信息内容的结构化表示。像素的整数值信息量被定义为包含该像素的非均匀簇数量，有效捕捉了其在层级分解中的包含深度。该定义与经典信息论估计相一致：当层级由每层像素数量相等的均匀簇组成时，对应于香农估计；而簇数量的等分划分则对应于哈特利估计。

该方法进一步定义了原始图像 $u$u 的紧凑同构不变表示 $Hu$Hu。该表示通过伪三进制数系统对像素簇的层级结构进行编码，其中非负整数使用系数 0、1 和 2 表示。在该系统中，提取的信息位被编码为 0 和 2，而中性值 1 表示在不可分割的均匀簇内未从像素中提取信息。$Hu$Hu 的构建过程是迭代的：初始时所有像素被分配至单个簇，且 $Hu$Hu 初始化为零，每次迭代将每个非均匀簇划分为两个子簇。随后根据特定规则更新 $Hu$Hu 中的像素值：所有像素的表示值乘以 2，若像素属于均匀簇则其值加 1；若属于平均强度较高的子簇，则其值加 2。该过程持续进行，直至图像完全分解为均匀簇。由此得到的 $Hu$Hu 编码了整个簇分裂的层级结构，使得通过迭代算术变换分析像素值序列即可直接计算整数值信息量。

不变表示 $Hu$Hu 被称为“不变”，是因为当分割算法对像素强度的线性变换具有不变性（例如 Otsu 阈值法）时，该表示在强度线性变换下保持不变。它与图像取反及通过像素复制实现的缩放操作可交换，从而在这些操作下保持信息内容不变。从图像 $u$u 到 $Hu$Hu 的变换 $H$H 是保序的，意味着它通过将平均强度映射为 $Hu$Hu 中的整数值像素，在不改变相对顺序的前提下保留了簇内强度等级的顺序。该特性确保了 $Hu$Hu 与原始图像的分段常数近似同构，其中像素值被替换为其所属簇内的平均强度。

为获得拟最优图像近似，该方法侧重于构建簇数量递增的近似层级序列。该方法通过将过程解耦为两个阶段，避免了分析簇重复的复杂性。首先，计算紧凑的不变表示 $Hu$Hu，其内在定义了一个划分为 $1, 2, 4, 8, \ldots$1,2,4,8,… 个簇的序列。其次，将该表示扩展为簇数量依次递增的近似序列，其中每一步均使总平方误差 $E = N\sigma^2$E=Nσ2 的降低幅度最大化。所得近似序列的总平方误差 $E_i$Ei​ 保持凸性，满足以下不等式：

该凸性确保了拟最优近似在保留最优近似优良特性的同时，能够转换为同构不变表示。因此，该方法为图像近似与信息量化提供了一个结构化、层级化的框架，兼具计算可行性与信息论原理的理论基础。

实验

实验使用标准 Lena 数据集对图像近似技术进行评估，将最优方法与基于迭代阈值分割和簇合并的计算更简便的拟最优方法进行比较。视觉与统计评估表明，拟最优近似在保持相当重建质量的同时，通过不变表示为模式识别提供了增强的鲁棒性。该研究进一步在不同聚类策略下，将新型基于整数的信息量估计与经典香农和哈特利度量进行对比验证。结果证实，该整数值估计始终与公认的信息论指标保持一致，确立了其作为图像分析可靠且高效替代方案的地位。