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L_2マルチンキェヴィチ–ジグムント不等式における必要な点の数
L_2マルチンキェヴィチ–ジグムント不等式における必要な点の数
概要
我々は、m次元複素関数空間に対する重み付きL_2マルチンキェヴィチ–ジグムント不等式に必要な点評価の最悪ケースの数を、絶対定数倍を除いて決定する。相対歪みを0 < ε < 1とすると、この数はΘ(min{m^2, m/ε^2})であり、厳密な離散化は最悪ケースの値m^2をとる。上界は最近の構成から従うが、我々の貢献は離散化が困難な関数空間の構成と、それに対応する下界の導出にある。そのために、単位ノルムタイトフレームの重み付き部分フレームに対するトレース–分散不等式を用いる。その一例として完全グラフエッジフレームがあり、これは任意の次元での構成を与える。m−1が素数冪である場合、シンガーの等角タイトフレームにより定数が改善され、一方、極大等角タイトフレームは、それが存在する場合には常に、我々の手法で可能な最も強い下界を与える。また、重み付き最小二乗法の条件数や、これらの系をLSQRで解く際の標準的な条件数ベースの反復推定に対する帰結も導出する。
One-sentence Summary
The authors determine, up to absolute constants, the worst-case number of point evaluations required for a weighted L_2 Marcinkiewicz–Zygmund inequality on an m-dimensional complex function space, showing that this number is Θ(min{m^2, m/ε^2}) for relative distortion 0 < ε < 1 and exactly m^2 for exact discretization; they construct matching lower-bound function spaces via trace-variance inequalities for weighted subframes of unit-norm tight frames and derive consequences for weighted least-squares conditioning and LSQR.