HyperAI超神经

广义瑞利熵可以看做是瑞利熵的扩展，它是指函数 R(A,B,x)：

$latex {R{ \left( {A,B,x} \right) }\text{ }=\text{ }\frac{{x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Ax}}{{x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Bx}}} $

其中 x 为非零向量，而 A,B 为 n×n 的 Hermitan 矩阵，B 则为正定矩阵，令 ${x\text{‘}\text{ }=\text{ }B\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}x}$ ，那么分母可以转化为：

${x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Bx\text{ }=\text{ }x\text{‘}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}{ \left( {B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{H}}BB\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}x\text{‘}\text{ }=\text{ }x\text{‘}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}BB\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}x\text{‘}\text{ }={x\text{‘}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}x\text{‘}}}$

分子则转化为：

${x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Ax\text{ }=\text{ }x\text{‘}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}AB\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}x\text{‘}}$

此时 R(A,B,x) 转化为 R(A,B,x′) ：

${R{ \left( {A,B,x\text{‘}} \right) }\text{ }=\text{ }\frac{{x\text{‘}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}AB\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}x\text{‘}}}{{x\text{‘}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}x\text{‘}}}}$

从上式可以得出结论：广义瑞利熵可对矩阵进行标准化操作，其在 Fisher 线性判别分析中起到重要作用。

参考来源

【1】瑞利商与极值计算

【2】线性判别分析 LDA 原理总结

广义瑞利商 Generalized Rayleigh Quotient

参考来源