正定矩阵是所有特征值都大于 0 的对称矩阵，线性代数中的正定矩阵是一种埃尔米特矩阵，其性质类似复数中的正实数，与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式。

正定矩阵性质

• 正定矩阵的行列式恒为正；
• 实对称矩阵 A 正定当且仅当 A 与单位矩阵合同；
• 若 A 是正定矩阵，则 A 的逆矩阵也是正定矩阵；
• 两个正定矩阵的和是正定矩阵；
• 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

正定矩阵判定

根据正定矩阵的定义和性质，判别对称矩阵 A 的正定性有以下两种方法：

• 求出 A 的所有特征值：若 A 的特征值均为正数，则 A 是正定的；若 A 的特征值均为负数，则 A 为负定的；
• 计算 A 的各阶主子式：若 A 的各阶主子式均大于零，则 A 是正定的；若 A 的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则 A 为负定的。

正定矩阵应用

正定矩阵的性质，例如存在唯一的 LDU 分解，若为实对称，则可进一步分解为 GGT，而矩阵的三角分解可大幅降低计算复杂度，样本的协方差矩阵便是一种实对称正定矩阵。

相关词：矩阵、特征值