القاعدة النوويةهو مجموع القيم المفردة للمصفوفة، والذي يستخدم لتحديد الرتبة المنخفضة للمصفوفة. بالنسبة للبيانات المتفرقة، تكون المصفوفة ذات رتبة منخفضة وتحتوي على الكثير من المعلومات المكررة، والتي يمكن استخدامها لاستعادة البيانات واستخراج الميزات.

تعريف القاعدة النووية

يتم تعريف المعيار النووي للمصفوفة X على النحو التالي:

latex {{ \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{{\*}}\text{ }=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{X\mathop{{}}\nolimits^{{T}}X}} \right) }}

وفقًا للصيغة أعلاه، فإن المعيار النووي يعادل مجموع القيم الذاتية للمصفوفة. بالنظر إلى تحلل القيمة الذاتية لـ Xlatex {X=USigmaV}\nolimits^{T}}، يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية:

latex {\begin{array}{\*{20}{l}} {tr{ \left( {\sqrt{{X\mathop{{}}\nolimits^{{T}}X}} \right) }}&{=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{{ \left( {U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{T}}U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }}\\ {}&{=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{V \Sigma \mathop{{}}\nolimits^{{T}}U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}} \right) }}\\ {}&{=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{V \Sigma \mathop{{}}\nolimits^{{2}}V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}} \right) }\text{ }{ \left( { \Sigma \mathop{{}}\nolimits^{{T}}= \Sigma } \right) }}\\ {}&{=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}V \Sigma \mathop{{}}\nolimits^{{2}}}} \right) }}\\ {}&{=\text{ }tr{ \left( { \Sigma } \right) }} \end{array}}

إثبات التحدب

وفقًا للمعلومات المعروفة، فإن القاعدة المستحثة للمصفوفة محدبة، أي:

ليكن $latex {f\mathop{{}}\nolimits\_{{x}}{ \left( {A} \right) }\text{ }=\text{ }{ \left\Vert {Ax} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{p}}\text{ }{ \left( {p \ge 1} \right) }}$latexf_x(A) = ∥Ax∥_p (p≥1)، عندئذٍ يكون $latex {f\mathop{{}}\nolimits\_{{x}}}$latexf_x محدبًا، لذا يكون $latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{p}}\text{ }=\text{ }\mathop{{sup}}\limits\_{{{ \left\Vert {x} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{p}}=1}}\text{ }f\mathop{{}}\nolimits\_{{x}}{ \left( {A} \right) }}$latex∥A∥_p = sup_∥x∥_p=1 f_x(A) محدب، و$latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{2}}}$latex∥A∥_2 بما أن $latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{\*}}}$latex∥A∥_\* و$latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{2}}}$latex∥A∥_2 هما معياران مزدوجان، فإن $latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{\*}}}$latex∥A∥_\* محدب (latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{\*}}\text{ }=\text{ }\mathop{{sup}}\limits\_{{{ \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{{2}}=1}}\text{ }tr{ \left( {{A\mathop{{}}\nolimits^{{T}}X}} \right) }}).

حل التدرج

وبناءً على افتراضات SVD المذكورة أعلاه، يمكننا أن نستنتج أن:

latex {\frac{{ \partial { \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{{\*}}}}{{ \partial X}}\text{ }=\text{ }\frac{{ \partial tr{ \left( { \partial \Sigma } \right) }}}{{ \partial X}}\text{ }=\text{ }\frac{{tr{ \left( { \partial \Sigma } \right) }}}{{ \partial X}}}

لذلك، نحتاج إلى حل $latex { \partial \Sigma }$latex∂Σ . خذ بعين الاعتبار $latex {X\text{ }=\text{ }U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}$latexX = UΣVT، لذا لدينا:

latex {\begin{array}{\*{20}{l}} {}&{ \partial }V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}\text{ }+\text{ }U \Sigma { \left( { \partial V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }}\\ { \Rightarrow }&{ \partial \Sigma }&{=\text{ }U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial X} \right) }V\text{ }-\text{ }U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial U} \right) } \Sigma \text{ }-\text{ } \Sigma { \left( { \partial V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }V}\\ {}&{}&{=U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial }0} \right) }} \end{array}}

لذا:

latex {\frac{{ \partial { \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{{\*}}}}{{ \partial X}}\text{ }=\text{ }\frac{{tr{ \left( { \partial \Sigma } \right) }}}{{ \partial X}}\text{ }=\text{ }\frac{{tr{ \left( {U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial X} \right) }V} \right) }}}{{ \partial \right) }}}{{ \partial X}} \text{ }=\text{ }{ \left( {VU\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{T}}\text{ }=\text{ }UV\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}