HyperAI

القاعدة النووية

التاريخ

منذ 3 أعوام

القاعدة النوويةهو مجموع القيم المفردة للمصفوفة، والذي يستخدم لتحديد الرتبة المنخفضة للمصفوفة. بالنسبة للبيانات المتفرقة، تكون المصفوفة ذات رتبة منخفضة وتحتوي على الكثير من المعلومات المكررة، والتي يمكن استخدامها لاستعادة البيانات واستخراج الميزات.

تعريف القاعدة النووية

يتم تعريف المعيار النووي للمصفوفة X على النحو التالي:

${{ \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{{*}}\text{ }=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{X\mathop{{}}\nolimits^{{T}}X}} \right) }}$

وفقًا للصيغة أعلاه، فإن المعيار النووي يعادل مجموع القيم الذاتية للمصفوفة. بالنظر إلى تحلل القيمة الذاتية لـ X ${X=USigmaV}\nolimits^{T}}$ ، يمكننا استخلاص الاستنتاجات التالية:

${\begin{array}{*{20}{l}} {tr{ \left( {\sqrt{{X\mathop{{}}\nolimits^{{T}}X}} \right) }}&{=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{{ \left( {U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{T}}U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }}\\ {}&{=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{V \Sigma \mathop{{}}\nolimits^{{T}}U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}} \right) }}\\ {}&{=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{V \Sigma \mathop{{}}\nolimits^{{2}}V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}} \right) }\text{ }{ \left( { \Sigma \mathop{{}}\nolimits^{{T}}= \Sigma } \right) }}\\ {}&{=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}V \Sigma \mathop{{}}\nolimits^{{2}}}} \right) }}\\ {}&{=\text{ }tr{ \left( { \Sigma } \right) }} \end{array}}$

إثبات التحدب

وفقًا للمعلومات المعروفة، فإن القاعدة المستحثة للمصفوفة محدبة، أي:

ليكن ${f\mathop{{}}\nolimits_{{x}}{ \left( {A} \right) }\text{ }=\text{ }{ \left\Vert {Ax} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{p}}\text{ }{ \left( {p \ge 1} \right) }}$ ، عندئذٍ يكون ${f\mathop{{}}\nolimits_{{x}}}$ محدبًا، لذا يكون ${{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{p}}\text{ }=\text{ }\mathop{{sup}}\limits_{{{ \left\Vert {x} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{p}}=1}}\text{ }f\mathop{{}}\nolimits_{{x}}{ \left( {A} \right) }}$ محدب، و ${{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{2}}}$ بما أن ${{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{*}}}$ و ${{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{2}}}$ هما معياران مزدوجان، فإن ${{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{*}}}$ محدب ( ${{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{*}}\text{ }=\text{ }\mathop{{sup}}\limits_{{{ \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{{2}}=1}}\text{ }tr{ \left( {{A\mathop{{}}\nolimits^{{T}}X}} \right) }}$ ).

حل التدرج

وبناءً على افتراضات SVD المذكورة أعلاه، يمكننا أن نستنتج أن:

${\frac{{ \partial { \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{{*}}}}{{ \partial X}}\text{ }=\text{ }\frac{{ \partial tr{ \left( { \partial \Sigma } \right) }}}{{ \partial X}}\text{ }=\text{ }\frac{{tr{ \left( { \partial \Sigma } \right) }}}{{ \partial X}}}$

لذلك، نحتاج إلى حل ${ \partial \Sigma }$ . خذ بعين الاعتبار ${X\text{ }=\text{ }U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}$ ، لذا لدينا:

${\begin{array}{*{20}{l}} {}&{ \partial }V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}\text{ }+\text{ }U \Sigma { \left( { \partial V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }}\\ { \Rightarrow }&{ \partial \Sigma }&{=\text{ }U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial X} \right) }V\text{ }-\text{ }U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial U} \right) } \Sigma \text{ }-\text{ } \Sigma { \left( { \partial V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }V}\\ {}&{}&{=U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial }0} \right) }} \end{array}}$

لذا:

${\frac{{ \partial { \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{{*}}}}{{ \partial X}}\text{ }=\text{ }\frac{{tr{ \left( { \partial \Sigma } \right) }}}{{ \partial X}}\text{ }=\text{ }\frac{{tr{ \left( {U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial X} \right) }V} \right) }}}{{ \partial \right) }}}{{ \partial X}} \text{ }=\text{ }{ \left( {VU\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{T}}\text{ }=\text{ }UV\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}$

القاعدة النووية

التاريخ

منذ 3 أعوام

تعريف القاعدة النووية

يتم تعريف المعيار النووي للمصفوفة X على النحو التالي:

${{ \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{{*}}\text{ }=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{X\mathop{{}}\nolimits^{{T}}X}} \right) }}$

إثبات التحدب

وفقًا للمعلومات المعروفة، فإن القاعدة المستحثة للمصفوفة محدبة، أي:

حل التدرج

وبناءً على افتراضات SVD المذكورة أعلاه، يمكننا أن نستنتج أن:

لذلك، نحتاج إلى حل ${ \partial \Sigma }$ . خذ بعين الاعتبار ${X\text{ }=\text{ }U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}$ ، لذا لدينا:

لذا:

القاعدة النووية

التاريخ

منذ 3 أعوام

تعريف القاعدة النووية

يتم تعريف المعيار النووي للمصفوفة X على النحو التالي:

${{ \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits_{{{*}}\text{ }=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{X\mathop{{}}\nolimits^{{T}}X}} \right) }}$

إثبات التحدب

وفقًا للمعلومات المعروفة، فإن القاعدة المستحثة للمصفوفة محدبة، أي:

حل التدرج

وبناءً على افتراضات SVD المذكورة أعلاه، يمكننا أن نستنتج أن:

لذلك، نحتاج إلى حل ${ \partial \Sigma }$ . خذ بعين الاعتبار ${X\text{ }=\text{ }U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}$ ، لذا لدينا:

لذا:

القاعدة النووية

تعريف القاعدة النووية

إثبات التحدب

حل التدرج

بناء الذكاء الاصطناعي بالذكاء الاصطناعي

Hyper Newsletters

القاعدة النووية

تعريف القاعدة النووية

إثبات التحدب

حل التدرج

بناء الذكاء الاصطناعي بالذكاء الاصطناعي

Hyper Newsletters

القاعدة النووية

تعريف القاعدة النووية

إثبات التحدب

حل التدرج

بناء الذكاء الاصطناعي بالذكاء الاصطناعي

Hyper Newsletters

Command Palette

القاعدة النووية

تعريف القاعدة النووية

إثبات التحدب

حل التدرج

بناء الذكاء الاصطناعي بالذكاء الاصطناعي

Hyper Newsletters

Command Palette

القاعدة النووية

تعريف القاعدة النووية

إثبات التحدب

حل التدرج

بناء الذكاء الاصطناعي بالذكاء الاصطناعي

Hyper Newsletters

Command Palette

القاعدة النووية

تعريف القاعدة النووية

إثبات التحدب

حل التدرج

بناء الذكاء الاصطناعي بالذكاء الاصطناعي

Hyper Newsletters