مصفوفة محددة موجبة
مصفوفة محددة موجبةهي مصفوفة متماثلة حيث تكون جميع القيم الذاتية أكبر من 0. المصفوفة المحددة الموجبة في الجبر الخطي هي مصفوفة هيرميتية ذات خصائص مشابهة للأعداد الحقيقية الموجبة في الأعداد المركبة. العامل الخطي المقابل لمصفوفة محددة موجبة هو شكل خطي موجب متماثل محدد.
خصائص المصفوفة المحددة الموجبة
- محدد المصفوفة المحددة الموجبة يكون دائما موجبا؛
- تكون المصفوفة المتماثلة الحقيقية A موجبة محددة إذا وفقط إذا كانت A مطابقة لمصفوفة الهوية؛
- إذا كانت A مصفوفة محددة موجبة، فإن المصفوفة العكسية لـ A هي أيضًا مصفوفة محددة موجبة؛
- مجموع مصفوفتين محددتين موجبين هو مصفوفة محددة موجبة؛
- حاصل ضرب عدد حقيقي موجب ومصفوفة محددة موجبة هو مصفوفة محددة موجبة.
تحديد المصفوفة المحددة الإيجابية
وفقًا لتعريف وخصائص المصفوفة المحددة الموجبة، هناك طريقتان لتحديد التحديد الموجب للمصفوفة المتماثلة A:
- إيجاد جميع القيم الذاتية لـ A: إذا كانت جميع القيم الذاتية لـ A موجبة، فإن A موجبة محددة؛ إذا كانت جميع القيم الذاتية لـ A سلبية، فإن A تكون سلبية محددة؛
- احسب القاصرين الرئيسيين لـ A: إذا كانت القاصرين الرئيسيين لـ A جميعهم أكبر من الصفر، فإن A تكون موجبة محددة؛ إذا كان بين القاصرين الرئيسيين لـ A، القاصرين الرئيسيين من الدرجة الفردية سلبيين والقاصرين الرئيسيين من الدرجة الزوجية موجبين، فإن A يكون سلبيًا محددًا.
تطبيقات المصفوفة المحددة الموجبة
يمكن تحليل خصائص المصفوفات المحددة الإيجابية، مثل وجود تحلل LDU فريد، إلى GGT إذا كانت حقيقية ومتماثلة، ويمكن أن يؤدي التحليل المثلثي للمصفوفة إلى تقليل التعقيد الحسابي بشكل كبير. مصفوفة التغاير للعينة هي مصفوفة موجبة محددة حقيقية ومتماثلة.