Yongji Wang Mehdi Bennani James Martens Sébastien Racanière Sam Blackwell et al

الملخص

ما إذا كان بالإمكان تكوّن التفردات في السوائل يظل سؤالاً جوهرياً غير مُحلّ في الرياضيات. يحدث هذا الظاهرة عندما تُنتج حلول المعادلات الحاكمة، مثل معادلات أويلر ثلاثية الأبعاد، تدرجات لانهائية من حالات ابتدائية ناعمة. وعلى مدى التاريخ، اعتمدت الطرق العددية في المقام الأول على اكتشاف تفرّدات مستقرة. ومع ذلك، لا يتوقع وجودها في مشاكل مفتوحة جوهرية، مثل حالات أويلر دون حدود وحالات نافير-ستوكس، حيث يُفترض أن تلعب التفردات غير المستقرة دوراً محورياً. في هذا العمل، نقدم أول اكتشاف منهجي لعائلات جديدة من التفردات غير المستقرة. فالتفريق المستقر هو نتيجة قوية، تنشأ حتى عند إدخال اضطرابات طفيفة على الحالة الابتدائية. أما التفردات غير المستقرة، فهي استثنائية في صعوبة التحقيق؛ فهي تتطلب حالات ابتدائية مُعدّة بدقة لا نهائية، وتوجد في حالة عدم استقرار بحيث تُحدث أي اضطرابات صغيرة انحرافاً فورياً عن مسار الانفجار (blow-up). وتحديدًا، نقدم حلولاً ذاتية التشابه غير المستقرة الجديدة المتعددة لمعادلة الوسائط المسامية غير القابلة للانضغاط ومعادلة أويلر ثلاثية الأبعاد مع حدود، مُظهرين صيغة تجريبية بسيطة للاستقرارية التصاعدية التي تربط معدل الانفجار بدرجة الاستقرار. ويعتمد نهجنا على دمج هندسات مُحكمة للذكاء الاصطناعي وخطط تدريب متخصصة مع مُحسّن من نوع جاوس-نيوتن بدقة عالية، مما يحقق دقةً تفوق بكثير ما سبق في جميع الحلول المُكتشفة. وبالنسبة لحلول محددة، نصل إلى دقة قريبة من دقة النقطة العائمة المزدوجة (double-float) على مستوى يُحدّده فقط خطأ التقريب الناتج عن معدّات وحدة معالجة الرسومات (GPU). وتحقيق هذه الدقة يلبي المتطلبات المطلوبة للاعتماد الرياضي الصارم من خلال الأدلة المدعومة بالحوسبة. يقدّم هذا العمل مخططاً جديداً لاستكشاف المنظومة المعقدة للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية (PDEs) والتصدي للتحديات الطويلة الأمد في الفيزياء الرياضية.