في ورقة بحثية حديثة، تم طرح سؤال حول تحديد النسبة من الأشجار الثنائية التي تحتوي على نمط ثابت يُعرف باسم الثلجية (snowflake). وقد أظهرنا أن هذه النسبة تقترب من 1، مع تقديم اثنتين من البراهين مختلفة جدًا: الأولى هي برهان توافقي خالص كمي ومحدد لهذا المشكلة؛ والثانية هي برهان يستخدم تقنيات العمليات الفرعية وهو أقل صراحة، ولكنه أيضًا أكثر عمومية بكثير، حيث يمكن تطبيقه على أي أنماط ثابتة ويمكن توسيعه إلى أشجار وأشباه شبكات أخرى. وبشكل خاص، يتبع مباشرة من البرهان الثاني لدينا أن النسبة من الأشجار الـ $d$d-ary (أشجار ذات درجة $d$d) (resp. شبكات المستوى-$k$k) التي تحتوي على شجرة ثابتة $d$d-ary (resp. شبكة مستوى-$k$k) تميل إلى 1 كلما زاد عدد الأوراق.