类内散度矩阵 Within-class scatter matrix

类内散度矩阵用于表示样本点围绕均值的散步情况，其定义如下：

设有 $\text{[math]}$ 个类别， ${Ω\mathop{{}}\nolimits_{{i}},…,Ω\mathop{{}}\nolimits_{{M}}}$ ， ${Ω\mathop{{}}\nolimits_{{i}}}$ 类样本集 ${ \left\{ {X\mathop{{}}\nolimits_{{1}}^{{{ \left( {i} \right) }}},X\mathop{{}}\nolimits_{{2}}^{{{ \left( {i} \right) }}},…,X\mathop{{}}\nolimits_{{N\mathop{{}}\nolimits_{{i}}}}^{{{ \left( {i} \right) }}}} \right\} }$ ， ${Ω\mathop{{}}\nolimits_{{i}}}$ 类的散度矩阵定义为：

${S\mathop{{}}\nolimits_{{w}}^{{{ \left( {i} \right) }}}\text{ }=\text{ }\frac{{1}}{{N\mathop{{}}\nolimits_{{i}}}}{\mathop{ \sum }\limits_{{k=1}}^{{N\mathop{{}}\nolimits_{{i}}}}{{ \left( {X\mathop{{}}\nolimits_{{k}}^{{{ \left( {i} \right) }}}-m\mathop{{}}\nolimits^{{{ \left( {i} \right) }}}} \right) }{ \left( {X\mathop{{}}\nolimits_{{k}}^{{{ \left( {i} \right) }}}-m\mathop{{}}\nolimits^{{{ \left( {i} \right) }}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}}}$

其中， ${S\mathop{{}}\nolimits_{{{w}}}^{{ \left( {i} \right) }}}$ 即是类 ${Ω\mathop{{}}\nolimits_{{i}}}$ 的协方差矩阵。

总的类内散度矩阵为：

${S\mathop{{}}\nolimits_{{w}}\text{ }=\text{ }{\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{M}}{P{ \left( {Ω\mathop{{}}\nolimits_{{i}}} \right) }S\mathop{{}}\nolimits_{{w}}^{{{ \left( {i} \right) }}}}}\text{ }=\text{ }{\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{M}}{P{ \left( {Ω\mathop{{}}\nolimits_{{i}}} \right) }\frac{{1}}{{N\mathop{{}}\nolimits_{{i}}}}{\mathop{ \sum }\limits_{{k=1}}^{{N\mathop{{}}\nolimits_{{i}}}}{{ \left( {X\mathop{{}}\nolimits_{{k}}^{{{ \left( {i} \right) }}}-m\mathop{{}}\nolimits^{{{ \left( {i} \right) }}}} \right) }{ \left( {X\mathop{{}}\nolimits_{{k}}^{{{ \left( {i} \right) }}}-m\mathop{{}}\nolimits^{{{ \left( {i} \right) }}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}}}}}$

则：迹 ${ \left\{ {S\mathop{{}}\nolimits_{{w}}} \right\} }$ 是所有类的特征方差的平均测度。

关于特征选择和提取的结果，类内散布矩阵的积越小越好。

类内散度矩阵 Within-class scatter matrix

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