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엠씨엠씨 이는 마르코프 체인을 기반으로 한 무작위 분포에서 샘플링을 위한 알고리즘으로, 확률 공간에서 무작위로 샘플링하여 관심 매개변수의 사후 분포를 근사합니다.

MCMC의 기본 이론은 마르코프 과정입니다. 관련 알고리즘에서, 지정된 분포를 샘플링하기 위해 마르코프 과정에 따라 모든 상태에서 이 과정을 시뮬레이션하고, 최종적으로 안정적인 분포로 수렴할 때까지 상태 전이를 지속적으로 수행할 수 있습니다.

전반적인 아이디어는 복잡한 분포를 대체하기 위해 안정적인 분포를 사용하고, 이를 사용하여 표본을 추출하고 적합시켜 최종적으로 복잡한 표본의 분포를 얻는 것입니다.

일반적인 MCMC 방법: 메트로폴리스-헤이스팅스 샘플링, 깁스 샘플링

메트로폴리스-헤이스팅스 샘플링

1: 마르코프 체인의 초기 상태를 초기화합니다. ${X\mathop{{}}\nolimits_{{0}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{0}}}$

2: ${t\text{ }=\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }…}$ 사이클의 다음 프로세스를 샘플링하세요.

$\text{[math]}$ 순간에 마르코프 체인의 상태는 ${X\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}}$ 이고 샘플링 ${y\text{ } \sim \text{ }q{ \left( {x \left| x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\right. } \right) }}$
균일 분포에서의 샘플링 ${u\text{ } \sim \text{ }Uniform{ \left[ {0,1} \right] }}$
${u\text{ } < \text{ } \alpha { \left( {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}},y} \right) }\text{ }=\text{ }min{ \left\{ {\frac{{p{ \left( {y} \right) }q{ \left( {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}} \left| y\right. } \right) }}}{{p{ \left( {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}} \right) }p{ \left( {y \left| {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\text{ } \to \text{ }y}$ , 즉 ${X\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ }=\text{ }y}$
그렇지 않으면 전송이 허용되지 않습니다. 즉, ${X\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}}$

깁스 샘플링

1: ${X\mathop{{}}\nolimits_{{0}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{0}},\text{ }Y\mathop{{}}\nolimits_{{0}}\text{ }=\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{0}}}$ 를 무작위로 초기화합니다.

2: $latex의 순환 샘플링 {t\text{ }=\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }…}$

${y\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ } \sim \text{ }p{ \left( {y \left| x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\right. } \right) }}$
${x\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ } \sim \text{ }p{ \left( {x \left| y\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\right. } \right) }}$

참고문헌

【1】MCMC 시작하기

【2】마르코프 체인 몬테카를로 방법에 대한 간략한 분석

일반적인 MCMC 방법: 메트로폴리스-헤이스팅스 샘플링, 깁스 샘플링

메트로폴리스-헤이스팅스 샘플링

1: 마르코프 체인의 초기 상태를 초기화합니다. ${X\mathop{{}}\nolimits_{{0}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{0}}}$

2: ${t\text{ }=\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }…}$ 사이클의 다음 프로세스를 샘플링하세요.

$\text{[math]}$ 순간에 마르코프 체인의 상태는 ${X\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}}$ 이고 샘플링 ${y\text{ } \sim \text{ }q{ \left( {x \left| x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\right. } \right) }}$
균일 분포에서의 샘플링 ${u\text{ } \sim \text{ }Uniform{ \left[ {0,1} \right] }}$
${u\text{ } < \text{ } \alpha { \left( {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}},y} \right) }\text{ }=\text{ }min{ \left\{ {\frac{{p{ \left( {y} \right) }q{ \left( {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}} \left| y\right. } \right) }}}{{p{ \left( {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}} \right) }p{ \left( {y \left| {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\text{ } \to \text{ }y}$ , 즉 ${X\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ }=\text{ }y}$
그렇지 않으면 전송이 허용되지 않습니다. 즉, ${X\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}}$

깁스 샘플링

1: ${X\mathop{{}}\nolimits_{{0}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{0}},\text{ }Y\mathop{{}}\nolimits_{{0}}\text{ }=\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{0}}}$ 를 무작위로 초기화합니다.

2: $latex의 순환 샘플링 {t\text{ }=\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }…}$

${y\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ } \sim \text{ }p{ \left( {y \left| x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\right. } \right) }}$
${x\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ } \sim \text{ }p{ \left( {x \left| y\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\right. } \right) }}$

참고문헌

【1】MCMC 시작하기

【2】마르코프 체인 몬테카를로 방법에 대한 간략한 분석

일반적인 MCMC 방법: 메트로폴리스-헤이스팅스 샘플링, 깁스 샘플링

메트로폴리스-헤이스팅스 샘플링

1: 마르코프 체인의 초기 상태를 초기화합니다. ${X\mathop{{}}\nolimits_{{0}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{0}}}$

2: ${t\text{ }=\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }…}$ 사이클의 다음 프로세스를 샘플링하세요.

$\text{[math]}$ 순간에 마르코프 체인의 상태는 ${X\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}}$ 이고 샘플링 ${y\text{ } \sim \text{ }q{ \left( {x \left| x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\right. } \right) }}$
균일 분포에서의 샘플링 ${u\text{ } \sim \text{ }Uniform{ \left[ {0,1} \right] }}$
${u\text{ } < \text{ } \alpha { \left( {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}},y} \right) }\text{ }=\text{ }min{ \left\{ {\frac{{p{ \left( {y} \right) }q{ \left( {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}} \left| y\right. } \right) }}}{{p{ \left( {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}} \right) }p{ \left( {y \left| {x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\text{ } \to \text{ }y}$ , 즉 ${X\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ }=\text{ }y}$
그렇지 않으면 전송이 허용되지 않습니다. 즉, ${X\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}}$

깁스 샘플링

1: ${X\mathop{{}}\nolimits_{{0}}\text{ }=\text{ }x\mathop{{}}\nolimits_{{0}},\text{ }Y\mathop{{}}\nolimits_{{0}}\text{ }=\text{ }y\mathop{{}}\nolimits_{{0}}}$ 를 무작위로 초기화합니다.

2: $latex의 순환 샘플링 {t\text{ }=\text{ }0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }…}$

${y\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ } \sim \text{ }p{ \left( {y \left| x\mathop{{}}\nolimits_{{t}}\right. } \right) }}$
${x\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\text{ } \sim \text{ }p{ \left( {x \left| y\mathop{{}}\nolimits_{{t+1}}\right. } \right) }}$

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【1】MCMC 시작하기

【2】마르코프 체인 몬테카를로 방법에 대한 간략한 분석

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