특이값 분해이는 행렬 분해 방법입니다. 대칭 배열의 고유벡터 분해의 기초는 스펙트럼 분석이고, 특이값 분해는 스펙트럼 분석 이론을 임의의 행렬로 일반화한 것입니다.

이론적 설명

M이 모든 원소가 실수체 또는 복소체인 체 K에 속하는 m×n 행렬이라고 가정합니다. 이 경우, M = UΣV*인 분해가 존재하는데, 여기서 U는 m×m 단위 행렬입니다. Σ는 m×n의 음이 아닌 실수 대각 행렬입니다. 그리고 V*, 즉 V의 켤레 전치행렬은 n×n 단위행렬입니다. 이러한 분해를 M의 특이값 분해라고 하며, Σ의 대각선에 있는 원소 Σi,i는 M의 특이값입니다.

행렬 M의 특이값 분해에서 M = UΣV*

• V의 열은 M의 쌍 세트를 형성합니다. 직교 "입력" 또는 "분석" 기저 벡터. 이 벡터들은 M*M입니다 .의 특징 벡터.
• U의 열은 M의 쌍 세트를 형성합니다. 직교 "출력"의 기저 벡터. 이 벡터들은 MM* .의 특징 벡터.
• Σ 대각선의 요소는 특이값으로, 입력과 출력 사이의 스칼라 "확장 제어"로 볼 수 있습니다. 이것들은 MM*  그리고 M*M U와 V의 행 벡터에 대응하는 고유값의 음이 아닌 제곱근.

그래픽 표현과 기하학적 의미

특이값 분해는 Vt 회전, Σ 스케일링, U 다시 회전의 세 단계 행렬 분해로 볼 수 있습니다.

특이값 분해 응용 프로그램

• 일반화된 역행렬을 구하세요
• 행렬의 열 공간, 영공간, 랭크를 표현해보세요.
• 행렬 근사값 찾기

관련 용어: 단위 행렬, 스펙트럼 분해

상위 용어: 행렬 분해