类内散度矩阵用于表示样本点围绕均值的散步情况，其定义如下：

设有 $latex {M}$latexM 个类别， $latex {Ω\mathop{{}}\nolimits\_{{i}},…,Ω\mathop{{}}\nolimits\_{{M}}}$latexΩ_i,…,Ω_M ， $latex {Ω\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}$latexΩ_i 类样本集 $latex { \left\{ {X\mathop{{}}\nolimits\_{{1}}^{{{ \left( {i} \right) }}},X\mathop{{}}\nolimits\_{{2}}^{{{ \left( {i} \right) }}},…,X\mathop{{}}\nolimits\_{{N\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}^{{{ \left( {i} \right) }}}} \right\} }$latex{X_1(i),X_2(i),…,X_N_i(i)} ， $latex {Ω\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}$latexΩ_i 类的散度矩阵定义为：

$latex {S\mathop{{}}\nolimits\_{{w}}^{{{ \left( {i} \right) }}}\text{ }=\text{ }\frac{{1}}{{N\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}{\mathop{ \sum }\limits\_{{k=1}}^{{N\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}{{ \left( {X\mathop{{}}\nolimits\_{{k}}^{{{ \left( {i} \right) }}}-m\mathop{{}}\nolimits^{{{ \left( {i} \right) }}}} \right) }{ \left( {X\mathop{{}}\nolimits\_{{k}}^{{{ \left( {i} \right) }}}-m\mathop{{}}\nolimits^{{{ \left( {i} \right) }}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}}}$latexS_w(i) = N_i1​∑_k=1N_i(X_k(i)−m(i))(X_k(i)−m(i))T

其中， $latex {S\mathop{{}}\nolimits\_{{{w}}}^{{ \left( {i} \right) }}}$latexS_w(i) 即是类 $latex {Ω\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}$latexΩ_i 的协方差矩阵。

总的类内散度矩阵为：

$latex {S\mathop{{}}\nolimits\_{{w}}\text{ }=\text{ }{\mathop{ \sum }\limits\_{{i=1}}^{{M}}{P{ \left( {Ω\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}} \right) }S\mathop{{}}\nolimits\_{{w}}^{{{ \left( {i} \right) }}}}}\text{ }=\text{ }{\mathop{ \sum }\limits\_{{i=1}}^{{M}}{P{ \left( {Ω\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}} \right) }\frac{{1}}{{N\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}{\mathop{ \sum }\limits\_{{k=1}}^{{N\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}}}{{ \left( {X\mathop{{}}\nolimits\_{{k}}^{{{ \left( {i} \right) }}}-m\mathop{{}}\nolimits^{{{ \left( {i} \right) }}}} \right) }{ \left( {X\mathop{{}}\nolimits\_{{k}}^{{{ \left( {i} \right) }}}-m\mathop{{}}\nolimits^{{{ \left( {i} \right) }}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}}}}}$latexS_w = ∑_i=1MP(Ω_i)S_w(i) = ∑_i=1MP(Ω_i)N_i1​∑_k=1N_i(X_k(i)−m(i))(X_k(i)−m(i))T

则：迹 $latex { \left\{ {S\mathop{{}}\nolimits\_{{w}}} \right\} }$latex{S_w} 是所有类的特征方差的平均测度。

关于特征选择和提取的结果，类内散布矩阵的积越小越好。

相关词：类间散度矩阵