本文探讨了如何用神经网络学习曼德博集合这一极具复杂性的数学对象。曼德博集合是复平面上的一个分形，无论怎样放大，其边界都展现出无穷无尽的细节。尽管它是完全确定性的，没有噪声或随机性，但它却成为检验神经网络表达复杂函数能力的理想实验场。 为了训练神经网络，研究者将曼德博集合转化为一个回归问题：给定复平面上的点 (c = x + iy)，模型需预测其“平滑逃逸时间”值。这一数值基于迭代公式 (z_{n+1} = z_n^2 + c)（初始值 (z_0 = 0)）的发散速度，通过引入对数变换实现连续化，从而避免原始迭代次数带来的跳跃性与不连续问题。 数据采样策略聚焦于边界区域——曼德博集合最复杂的部分。通过在特定逃逸值区间内优先采样，构建了一个偏向边界的混合数据集，显著提升了学习效率。 在基础模型中，使用一个深层残差MLP直接以 ((x, y)) 为输入。结果发现，虽然整体形状可辨，但边界细节模糊，细丝结构严重丢失。这并非因网络容量不足或数据量不够，而是源于“频谱偏差”问题：标准MLP倾向于先学习低频成分，难以捕捉高频、快速变化的函数结构。 为解决此问题，研究引入多尺度高斯傅里叶特征（Multi-Scale Gaussian Fourier Features）。该方法将原始坐标 ((x, y)) 映射到高维正弦与余弦空间，通过多个不同频率尺度的随机基函数构建输入表示。这一变换相当于在输入端预先编码了高频信息，使网络能更高效地学习复杂细节。 最终模型采用相同的深层残差架构，仅将输入替换为多尺度傅里叶特征。训练结果显示：没有傅里叶特征的模型在学习初期迅速收敛，随后停滞，无法细化边界；而使用傅里叶特征的模型则呈现出“由粗到细”的渐进学习过程——先出现整体轮廓，再逐步浮现精细结构，最终生成清晰锐利的分形边界。 结论表明，神经网络在处理曼德博集合这类高度高频的函数时，性能瓶颈并非模型容量或训练方式，而在于输入表示方式。通过傅里叶特征对坐标进行预编码，将复杂结构的表达任务从网络内部转移到输入空间，极大提升了模型对高分辨率细节的建模能力。 这一思想不仅适用于分形生成，也广泛适用于计算机图形学、物理信息学习和信号处理等领域。它揭示了一个核心原则：在坐标基神经网络中，输入编码的质量往往决定输出的精细程度。