النماذج الخطية المعممةهو نموذج انحدار خطي مرن يسمح للمتغير التابع أن يكون له شكل توزيع مختلف عن التوزيع الطبيعي.

تعريف

النموذج الخطي المعمم هو امتداد لنموذج الانحدار البسيط ذي المربعات الصغرى. بافتراض أن كل ملاحظة بيانات $latex {Y}$latexY تأتي من توزيع عائلي أسي، فيمكن تفسير متوسط $latex {\mu}$latexμ للتوزيع بواسطة $latex {X}$latexX المستقل عند تلك النقطة:

$latex {E{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ } \mu \text{ }=\text{ }g\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}{ \left( {X \beta } \right) }}$latexE(y) = μ = g−1(Xβ)

ومن بينها، $latex {E{ \left( {y} \right) }}$latexE(y) هي القيمة المتوقعة لـ $latex {y}$latexy، و$latex {X \beta }$latexXβ هي صيغة التقدير الخطي المكونة من المعلمات غير المعروفة التي يجب تقديرها $latex {\beta }$latexβ والمتغيرات المعروفة $latex {X}$latexX، و$latex {g}$latexg هي دالة الارتباط.

في هذا الوضع، يمكن التعبير عن التباين $latex {y}$latexy لـ $latex {V}$latexV على النحو التالي:

$latex {Var{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ }V{ \left( { \mu } \right) }\text{ }=\text{ }V{ \left( {g\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}{ \left( {X \beta } \right) }} \right) }}$latexVar(y) = V(μ) = V(g−1(Xβ))

حيث يمكن اعتبار $latex {V}$latexV كدالة لمتغير عشوائي أسي، ويتم عادةً تقدير المعلمة غير المعروفة $latex {\beta }$latexβ باستخدام مقدر الاحتمالية القصوى، أو مقدر الاحتمالية القصوى تقريبًا، أو الطريقة البايزية.

تكوين النموذج

يتكون النموذج الخطي المعمم من الأجزاء الرئيسية التالية:

1. دالة التوزيع $latex{f}$latexf من العائلة الأسية.

2. المتنبئ الخطي $latex { \eta \text{ }=\text{ }X \beta }$latexη = Xβ .

3. دالة الارتباط $latex {g}$latexg بحيث $latex {E{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ } \mu \text{ }=\text{ }g\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}{ \left( {\eta } \right) }}$latexE(y) = μ = g−1(η) .

مراجع

【1】نموذج خطي معمم - ويكيبيديا