طريقة المربعات الصغرى

طريقة المربعات الصغرىإنها طريقة تحسين رياضية تعمل على إيجاد أفضل دالة مطابقة للبيانات عن طريق تقليل مجموع مربعات الأخطاء. تستطيع طريقة المربعات الصغرى الحصول بسرعة على بيانات غير معروفة، ويتم تقليل مجموع مربعات الأخطاء بين البيانات التي تم الحصول عليها والبيانات الفعلية.

شكل طريقة المربعات الصغرى

مبدأ طريقة المربعات الصغرى هو:

دالة الهدف = ∑ (القيمة الملاحظة – القيمة النظرية)²

طريقة المربعات الصغرى هي طريقة قياسية لإيجاد حلول تقريبية للأنظمة المفرطة التحديد (الأنظمة التي تحتوي على معادلات أكثر من المجهول) باستخدام تحليل الانحدار. في الحل الشامل، يتم حساب طريقة المربعات الصغرى كنتيجة لكل معادلة ويتم تقليل مجموع المتبقي التربيعي إلى الحد الأدنى.

تطبيق طريقة المربعات الصغرى

غالبًا ما يتم استخدام طريقة المربعات الصغرى لملاءمة المنحنى، وأفضل ملاءمة تغطيها المربعات الصغرى هي تقليل مجموع مربعات المتبقيات (الفرق بين القيم الملاحظة والقيم المجهزة التي يوفرها النموذج).

تنقسم مشاكل المربعات الصغرى عادة إلى مربعات صغرى خطية ومربعات صغرى غير خطية، والتي يتم تحديدها من خلال ما إذا كانت البقايا في جميع المجهولات خطية أم لا.

غالبًا ما تنشأ مشكلات المربعات الصغرى الخطية في تحليل الانحدار الإحصائي ولها حل مغلق الشكل؛ يتم حل المشكلات غير الخطية عادةً عن طريق التحسين التكراري، مع تقريب خطي للنظام في كل تكرار، وبالتالي فإن الخوارزمية الأساسية هي نفسها في كلتا الحالتين.

عندما تكون الملاحظات من عائلة أسيّة ويتم استيفاء الشروط المعتدلة، تكون تقديرات المربعات الصغرى والحد الأقصى للاحتمالية متطابقة.

حدود طريقة المربعات الصغرى

تنشأ المشاكل المتعلقة بالانحدار البسيط والمربعات الصغرى عندما تكون المشكلة تنطوي على قدر كبير من عدم اليقين في المتغيرات المستقلة، وفي هذه الحالة، ينبغي النظر في نهج آخر غير المربعات الصغرى لملاءمة النموذج مع المتغيرات والأخطاء والملاءمة.