HyperAI
الرئيسيةالأخبارأحدث الأوراق البحثيةالدروسمجموعات البياناتالفعالياتالموسوعةSOTAنماذج LLM
البحث
حول
HyperAI

الاستيفاء متعدد الحدود

تُعرف عملية الاستيفاء أيضًا باسم "طريقة الاستيفاء". يستخدم قيم الدالة f(x) عند عدة نقاط معروفة في فترة زمنية معينة لإنشاء دالة محددة مناسبة، ويستخدم قيمة هذه الدالة المحددة كقيمة تقريبية للدالة f(x) عند نقاط أخرى في الفترة الزمنية. تُسمى هذه الطريقة بالاستقصاء. إذا كانت هذه الدالة المعينة متعددة الحدود، فإنها تسمى الاستيفاء متعدد الحدود. هناك العديد من طرق الاستيفاء متعددة الحدود المستخدمة بشكل شائع وهي: الطريقة المباشرة، وطريقة الاستيفاء لاغرانج، وطريقة الاستيفاء نيوتن.

تعريف

نقاط البيانات (سأنا,يأنا), أي اثنين منها سأنا إنهم جميعًا مختلفون، لذا عليك أن تجد حلاً مرضيًا

P(xأنا)=يأنا، i=0،…، n

كثيرة حدود من الدرجة p ليست أكبر من الدرجة n. تنص نظرية التفرد على أنه يوجد كثيرة حدود واحدة فقط من الدرجة p.

بمصطلحات أكثر تعقيدًا، يمكن التعبير عن هذه الحدودية على النحو التالي: بالنسبة لنقاط الاستيفاء n+1 (xأنا), يحدد الاستيفاء متعدد الحدود التطابق الخطي

{\displaystyle L_{n}:\mathbb {K} ^{n+1}\to \Pi _{n}}

في {\displaystyle \Pi _{n}} أقل من أو يساوي ن فضاء متجهات كثيرات الحدود.

في التطبيقات العملية، قد تأتي نقاط الاستيفاء هذه من البيانات التي تم الحصول عليها من قياس تجريبي، أو من قيمة دالة معقدة y=f(x). من خلال حساب كثيرة الحدود الاستيفاء، يمكننا إيجاد الأنماط بين هذه البيانات التجريبية، أو استخدام دالة كثيرة الحدود البسيطة y=P(z) لتقريب دالة معقدة y=f(x).

إنشاء مُقسِّم متعدد الحدود

افترض أن متعددة الحدود الاستيفاءية هي من النموذج

{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.\qquad (1)}

ص تعني استيفاء نقاط البيانات

{\displaystyle p(x_{i})=y_{i}\qquad {\mbox{لكل}}i\in \left\{0,1,\dots ,n\right\}.}

إذا عوضنا في المعادلة (1)، نحصل على المعاملات {\displaystyle a_{k}} نظام المعادلات الخطية{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}^{n}&x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n-2}&\ldots &x_{0}&1\\x_{1}^{n}&x_{1}^{n-1}&x_{1}^{n-2}&\ldots &x_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\x_{n}^{n}&x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n-2}&\ldots &x_{n}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\\vdots \\a_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}.}

لبناء متعددة الحدود الاستيفاءية {\displaystyle p(x)}لحل هذا النظام، احسب المعاملات {\displaystyle a_{k}}.

تسمى المصفوفة الموجودة على اليسار عادةً بمصفوفة فاندرموند، ومحددها ليس صفرًا، مما يثبت نظرية التفرد: يوجد متعدد حدود استيفاء واحد فقط.

تطبيقات الاستيفاء متعدد الحدود

يمكن استخدام كثيرات الحدود لتقريب المنحنيات المعقدة، مثل النص في الطباعة، مع الأخذ في الاعتبار عدد صغير من نقاط البيانات. ومن التطبيقات ذات الصلة تقدير قيمة اللوغاريتم الطبيعي والدوال المثلثية: تحديد عدد قليل من نقاط البيانات المعروفة، وإنشاء جدول بحث، ثم الاستيفاء بين هذه النقاط. ويؤدي هذا إلى حسابات سريعة جدًا. بالإضافة إلى ذلك، فإن الاستيفاء متعدد الحدود هو أيضًا أساس الخوارزميات في التكامل العددي والمعادلات التفاضلية العادية العددية.

يعتبر الاستيفاء متعدد الحدود أيضًا أمرًا بالغ الأهمية في عمليات الضرب والتربيع شبه التربيعية. على سبيل المثال، هناك أ = ف(س) = أ0س0 + أ1س1 + … و ب = ج(س) = ب0س0 + ب1س1 + … ثم المنتج أب متساوي و(س) = ف(س)ج(س) . الاستيفاء بناءً على هذه النقاط سيعطي و(س) والمنتج أب . بالنسبة لضرب كاراتشوبا، فإن هذه التقنية أسرع من الضرب التربيعي لعدد طبيعي من المدخلات، وخاصة عندما يتم تنفيذها في أجهزة متوازية.

مراجع

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/