تحليل القيمة المفردة

تحليل القيمة المفردةإنها طريقة تحلل المصفوفة. إن أساس تحلل المتجهات الذاتية للمصفوفات المتماثلة هو التحليل الطيفي، وتحليل القيمة المفردة هو تعميم نظرية التحليل الطيفي على مصفوفات تعسفية.

الوصف النظري

افترض أن M هي مصفوفة m×n والتي تنتمي جميع عناصرها إلى المجال K، أي المجال الحقيقي أو المجال المعقد. في هذه الحالة، يوجد تحلل بحيث يكون M = UΣV*، حيث U هي مصفوفة وحدوية m×m؛ Σ هي مصفوفة قطرية حقيقية غير سالبة m×n؛ وV*، أي النقل المترافق لـ V، عبارة عن مصفوفة وحدوية n×n. يُطلق على هذا التحلل اسم تحلل القيمة المفردة لـ M، والعناصر Σi,i على قطر Σ هي القيم المفردة لـ M.

في تحليل القيمة المفردة للمصفوفة M م = UΣV*

• تشكل أعمدة V مجموعة من أزواج M متجهات الأساس "المدخلة" أو "التحليل" المتعامدة لـ . هذه المتجهات هي M*M متجه الميزة لـ .
• تشكل أعمدة U مجموعة من أزواج M متجهات الأساس لـ "الإخراج" المتعامد. هذه المتجهات هي مم* متجه الميزة لـ .
• العناصر الموجودة على الخط القطري Σ هي قيم مفردة، والتي يمكن اعتبارها بمثابة "تحكم في التوسع" القياسي بين المدخلات والمخرجات. هؤلاء هم مم*  و م*م الجذور التربيعية غير السالبة للقيم الذاتية لـ ، المقابلة لمتجهات الصف لـ U و V .

التمثيل البياني والمعنى الهندسي

يمكن النظر إلى تحلل القيمة المفردة على أنه ثلاث خطوات لتحلل المصفوفة: تدوير Vt، وقياس Σ، وتدوير U مرة أخرى

تطبيقات تحليل القيمة المفردة

• إيجاد المصفوفة العكسية المعممة
• أعط تمثيلًا لمساحة العمود والمساحة الصفرية ورتبة المصفوفة
• إيجاد تقريبات المصفوفة

المصطلحات ذات الصلة: المصفوفة الوحدوية، التحلل الطيفي

المصطلح الأصلي: تحليل المصفوفات