التحلل الذاتي

تحلل القيم الذاتية هو طريقة لتحلل مصفوفة إلى حاصل ضرب المصفوفات الممثلة بالقيم الذاتية والمتجهات الذاتية، ولكن فقط المصفوفات القابلة للتحويل إلى قيم قطرية يمكنها إجراء تحلل ذاتي.

يمكن اعتبار القيمة الذاتية كنسبة مقياس لطول المتجه الذاتي تحت التغيير الخطي. إذا كانت القيمة الذاتية موجبة، فهذا يعني أن اتجاه $latex v $ يظل دون تغيير بعد التحويل الخطي؛ إذا كانت القيمة الذاتية سلبية، فهذا يعني أن الاتجاه سوف ينعكس؛ إذا كانت القيمة الذاتية تساوي 0، فهذا يعني أنها تتقلص إلى الصفر.

التحليل الذاتي لمصفوفة قياسية

افترض أن A عبارة عن مصفوفة مربعة من N x N مع N متجه ذاتي مستقل خطيًا Qi (i = 1، 2، 3، ····، N)، حيث يمكن تحليل A إلى $latex \mathbf{A}=\mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{-1} $

حيث Q هي مصفوفة مربعة N x N حيث يكون العمود i هو المتجه الذاتي Qi لـ A، وΛ هي مصفوفة قطرية تكون عناصرها القطرية هي القيم الذاتية المقابلة، أي $latex \Lambda_{ii}=\lambda_{i} $

التحليل الذاتي لمصفوفة متماثلة

تحتوي أي مصفوفة متماثلة حقيقية N x N على متجهات ذاتية مستقلة خطيًا، ويمكن تطبيعها جميعًا بشكل متعامد للحصول على مجموعة من المتجهات المتعامدة ذات معامل 1، وبالتالي يمكن تحليل المصفوفة المتماثلة A إلى $latex \mathbf{A}=\mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{T} $

التحليل الذاتي لمصفوفة طبيعية

على نحو مماثل، تحتوي مصفوفة طبيعية معقدة على مجموعة من أساسات المتجهات الذاتية المتعامدة، وبالتالي يمكن تحليل مصفوفة الطبيعية إلى $latex \mathbf{A}=\mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^{H} $

حيث أن U هي مصفوفة وحدوية، يمكننا أن نستنتج أنه إذا كانت A هي مصفوفة هيرميتية، فإن العناصر القطرية للمصفوفة القطرية Λ هي كلها أعداد حقيقية؛ إذا كانت A مصفوفة وحدوية، فإن جميع العناصر القطرية لـ Λ تؤخذ على الدائرة الوحدوية في المستوى المركب.