再生核希尔伯特空间 Reproducing Kernel Hilbert Space

再生核希尔伯特空间 RKHS 由函数构成,在希尔伯特空间中使用「核技巧」将一组数据映射到一个高维空间,这个高维空间就是可再生核希尔伯特空间。

再生核希尔伯特空间概念

在一定条件下,可以找到对应于这个希尔伯特空间上唯一的再生核函数 K,其满足以下几点:

  • 对任意固定 x0 属于 X,有 K( x , x0 ) 作为 X 的函数属于 H;
  • 对任意 x 属于 X、f (y) 属于 H,有 f ( x ) ≤ f ( y )、K ( y , x ) > H,则称 K ( x , y ) 为 H 的再生核, H 是以 K ( x , y ) 为再生核的希尔伯特空间,简称再生核希尔伯特空间。

希尔伯特空间定义流程

向量空间 → 内积空间 → 赋范向量空间 → 度量空间 → Banach 空间 → 希尔伯特空间

  • 向量空间 Vector Space:满足加法和标量乘操作的集合
  • 范数向量空间 Normed Vector Space : 定义了向量长度的向量空间
  • 度量空间 Metric Space:定义了两个点的距离的集合
  • Banach 空间:一个完备的范数向量空间
  • 内积空间 Inner Product Space:指在定义域上可进行内积运算法操作的向量空间,
  • 希尔伯特空间 Hilbert Space:当一个内积空间满足通过内积空间可推导出范数空间,且是完备的,那么这个内积空间就是希尔伯特空间。

RKHS 的两个定理

  • 一个希尔伯特空间 H 是一个再生核希尔伯特空间,当且仅当它有一个再生核;
  • 对于给定的再生核希尔伯特空间,其再生核是唯一的。
相关词:希尔伯特空间、再生核