一般化レイリーエントロピーこれは、関数 R(A,B,x) を参照するレイリー エントロピーの拡張として見ることができます。

$latex {R{ \left( {A,B,x} \right) }\text{ }=\text{ }\frac{{x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Ax}}{ {x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Bx}}}$latexR(A,B,x) = xHBxxHAx​

このうち、x は非ゼロベクトル、A と B は n×n のエルミータン行列、B は正定行列とします。 latex {x\text{'}\text{ }=\text{ }B\ とします。 mathop{{}} \nolimits^{{-1/2}}x} の場合、分母は次のように変換できます。

$latex {x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Bx\text{ }=\text{ }x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}{ \left ({B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{H}}BB\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}x\text{'}\text{ }= \文章{ }x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}BB\mathop{{ }}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}x\text{'}\text{ }={x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}x\text{'}}}$latexxHBx = x’H(B−1/2)HBB−1/2x’ =\文章x’HB−1/2BB−1/2x’ =x’Hx’

分子は次のように変換されます。

$latex {x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Ax\text{ }=\text{ }x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}AB\mathop{{ }}\nolimits^{{-1/2}}x\text{'}}$latexxHAx = x’HB−1/2AB−1/2x’

現時点では R(A,B,x) は R(A,B,x') に変換されます。

$latex {R{ \left( {A,B,x\text{'}} \right) }\text{ }=\text{ }\frac{{x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}AB\mathop{{}} \nolimits^{{-1/2}}x\text{'}}}{{x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}x\text{'}}}}$latexR(A,B,x’) = x’Hx’x’HB−1/2AB−1/2x’​

上の式から、一般化レイリー エントロピーは行列を標準化でき、フィッシャー線形判別分析で重要な役割を果たすと結論付けることができます。

参考文献

【1】レイリー商と極値の計算

【2】線形判別分析 LDA の原理の概要