一般化レイリー商

一般化レイリーエントロピーこれは、関数 R(A,B,x) を参照するレイリー エントロピーの拡張として見ることができます。

$latex {R{ \left( {A,B,x} \right) }\text{ }=\text{ }\frac{{x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Ax}}{ {x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Bx}}} $

このうち、x は非ゼロベクトル、A と B は n×n のエルミータン行列、B は正定行列とします。 の場合、分母は次のように変換できます。

分子は次のように変換されます。

現時点では R(A,B,x) は R(A,B,x') に変換されます。

$latex {R{ \left( {A,B,x\text{'}} \right) }\text{ }=\text{ }\frac{{x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}AB\mathop{{}} \nolimits^{{-1/2}}x\text{'}}}{{x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}x\text{'}}}} $

上の式から、一般化レイリー エントロピーは行列を標準化でき、フィッシャー線形判別分析で重要な役割を果たすと結論付けることができます。

参考文献

【1】レイリー商と極値の計算

【2】線形判別分析 LDA の原理の概要