一般化線形モデル従属変数の偏差分布が正規分布以外の分布形式を持つことを可能にする柔軟な線形回帰モデルです。

意味

一般化線形モデルは単純な最小二乗回帰の拡張であり、各データの観測値 $latex {Y}$latexY が指数関数族分布に由来すると仮定され、分布の平均 $latex {\mu}$latexμ を決定できます。独立した $latex { X}$latexX による

$latex {E{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ } \mu \text{ }=\text{ }g\mathop{{}}\nolimits^{{-1}} { \left( {X \beta } \right) }}$latexE(y) = μ = g−1(Xβ)

このうち、$latex {E{ \left( {y} \right) }}$latexE(y) は $latex {y}$latexy の期待値、$latex {X \beta }$latexXβ は推定すべき未知パラメータ $latex {\beta }$latexβおよび既知の変数 $latex {X}$latexX で構成される線形推定器、 $latex {g}$latexg はリンク関数です。

このモードでは、$latex {y}$latexy $latex {V}$latexV の分散は次のように表すことができます。

$latex {Var{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ }V{ \left( { \mu } \right) }\text{ }=\text{ }V{ \left( {g\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}{ \left( {X \beta } \right) }} \right) }}$latexVar(y) = V(μ) = V(g−1(Xβ))

このうち、$latex {V}$latexV は指数族確率変数の関数とみなすことができ、未知パラメータ $latex {\beta }$latexβ は通常、最尤推定器、ほぼ最尤推定器、またはベイズ法によって推定されます。

モデル構成

一般化線形モードには、次の主要部分が含まれています。

1. 指数関数族の分布関数 $latex {f}$latexf。

2. 線形予測子 $latex { \eta \text{ }=\text{ }X \beta }$latexη = Xβ。

3. リンク関数 $latex {g}$latexg は $latex {E{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ } \mu \text{ }=\text{ }g\mathop{{ } }\nolimits^{{-1}}{ \left( {\eta } \right) }}$latexE(y) = μ = g−1(η) 。

参考文献

【1】一般化線形モデル - ウィキペディア