混合ガウスモデル GMM はガウス確率密度関数に基づいており、あらゆる形状の密度分布を滑らかに近似することができます。GMM にはさまざまなモデルがあるため、複雑なオブジェクトのモデル化に使用できます。

観測データのバッチ $latex {X\text{ }=\text{ }{ \{ {x\mathop{{}}\nolimits\_{{1}},x\mathop{{}}\nolimits\_{{ 2}} ,…,x\mathop{{}}\nolimits\_{{n}}} \} }}$latexX = {x_1,x_2,…,x_n}、d 次元空間での分布は楕円体ではないため、単一の関数で記述するには適していませんガウス密度。異なる分布からのデータ ポイントを混合することによって単一のガウス分布から生成された点平均の場合、この分布方法は混合ガウス分布です。

数学的な観点から見ると、データの確率分布密度関数は重み関数で表すことができます。

$latex {p{ \left( {x\mathop{{}}\nolimits\_{{i}}} \right) }\text{ }=\text{ }{\mathop{ \sum }\nolimits\_{{j=1 }}^{{M}}{a\mathop{{}}\nolimits\_{{j}}N\mathop{{}}\nolimits\_{{j}}{ \left( {x\mathop{{}}\ nolimits\_{{i}}; \mu \mathop{{}}\nolimits\_{{j}}, \Sigma \mathop{{}}\nolimits\_{{j}}} \right) }}}}$latexp(x_i) = ∑_j=1Ma_jN_j(x nolimits_i;μ_j,Σ_j)

その中には $latex {{\mathop{ \sum }\nolimits\_{{j=1}}^{{M}}{a\mathop{{}}\nolimits\_{{j}}}} \text{ }=\text { } 1}$latex∑_j=1Ma_j = 1、および latex {N\mathop{{}}\nolimits\_{{j}}{ \left( {x; \mu \mathop{{}}\nolimits\_{{j}}, \Sigma \mathop { {}}\nolimits\_{{j}}} \right) }\text{ }=\text{ }\frac{{1}}{{\sqrt{{{ \left( {2 \pi } \right) } \mathop{{}}\nolimits^{{m}}{ \left| { \Sigma \mathop{{}}\nolimits\_{{j}}} \right| \left| - \frac{{1}}{{2}}{ \left( {x\text{ }-\text{ } \mu \mathop{{}}\nolimits\_{{j}}} \right) }\mathop { {}}\nolimits^{{T}} \Sigma \mathop{{}}\nolimits\_{{j}}\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}{ \left( {x\text { }-\text{ } \mu \mathop{{}}\nolimits\_{{j}}} \right) }} \right] }} は、j 番目の単一ガウス関数の混合関数モデルを表します。

理論上、GMM はあらゆるタイプの分布に適合でき、通常は同じセット内の複数の異なる分布の問題を解決するために使用されます。