ヒルベルト空間つまり、完全な内積空間は、内積を含む完全なベクトル空間として理解できます。

ハルバート空間は有限次元ユークリッド空間に基づいており、実数と有限次元に限定されず、後者の一般化とみなすことができますが、完全ではありません。ユークリッド空間と同様に、ヒルベルト空間も内積空間であり、距離と角度の概念を持ちます。これも完全な空間であり、その上のすべてのコーシー数列は 1 点に収束するため、微積分ではほとんどの概念が簡単に一般化できます。ヒルベルト空間へ。

ヒルベルト空間は、任意の直交系の多項式に基づくフーリエ級数とフーリエ変換の効果的な表現を提供します。これは、関数解析の中心概念の 1 つでもあり、力学の重要な概念の 1 つでもあります。