多項式補間多項式補間

「補間法」とも呼ばれる補間法は、特定の間隔内のいくつかの既知の点における関数 f(x) の関数値を使用して適切な特定の関数を作成し、この特定の関数の値を次の関数として使用します。 f(x) の近似値。この方法は補間と呼ばれます。この特定の関数が多項式の場合、それは多項式補間と呼ばれます。一般的に使用される多項式補間方法には、直接法、ラグランジュ補間法、ニュートン補間法などがあります。

意味

データポイント (×私,y私)、そのうちのいずれか 2 つ ×私 それらはすべて異なります、満足のいくものを見つける必要があります

P(x私)=y私,i=0,…,n

は、n 次以下の p 次多項式です。一意性定理は、次数 p の多項式が 1 つだけ存在することを示しています。

より複雑な用語では、この多項式は次のように表すことができます。 n+1 の補間点 (x私)、多項式補間は線形全単射を定義します

{\displaystyle L_{n}:\mathbb {K} ^{n+1}\to \Pi _{n}}

で {\displaystyle \Pi _{n}} 以下である n 多項式ベクトル空間。

実際のアプリケーションでは、これらの補間点は、実験測定から得られたデータまたは複素関数 y=f(x) の値から得られる場合があります。内挿多項式を計算することで、これらの実験データ間のパターンを見つけたり、単純な多項式関数 y=P(z) を使用して複雑な関数 y=f(x) を近似したりできます。

多項式補間の構築

補間多項式が次の形式であると仮定します。

{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x +a_{0}.\qquad (1)}

p データポイントを補間する意味は次のとおりです。

{\displaystyle p(x_{i})=y_{i}\qquad {\mbox{すべての }}i\in \left\{0,1,\dots ,n\right\}.}

式 (1) に代入すると、係数は次のようになります。 {\displaystyle a_{k}} の線形方程式系。行列ベクトル形式で次のように表されます。{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}^{n}&x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n-2}&\ldots &x_{0}&1\\x_{1 }^{n}&x_{1}^{n-1}&x_{1}^{n-2}&\ldots &x_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\x_{n}^{n}&x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n-2}&\ldots &x_{n}&1 \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\\vdots \\a_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}.}

補間多項式を作成するには {\displaystyle p(x)}、このシステムを解くには、係数を計算します。 {\displaystyle a_{k}}。

左側の行列は通常ヴァンダーモンド行列と呼ばれ、その行列式はゼロではありません。これは、補間多項式が 1 つだけ存在するという一意性定理を証明しています。

多項式補間の応用

多項式を使用すると、いくつかの指定されたデータ ポイントから、タイポグラフィのテキストなどの複雑な曲線を近似できます。関連するアプリケーションでは、自然対数と三角関数の値を推定します。つまり、いくつかの既知のデータ ポイントを選択し、ルックアップ テーブルを構築し、これらのデータ ポイント間を補間します。これにより、計算が非常に高速になります。さらに、多項式補間は、数値積分および数値常微分方程式のアルゴリズムの基礎でもあります。

多項式補間は、二次二次乗算および二乗演算でも重要です。たとえば、次のようなものがあります。 ある = f(×) = ある0×0 + ある1×1 + … そして b = g(×) = b0×0 + b1×1 + … 次に製品 腹筋 等しい W(×) = f(×)g(×）。これらの点に基づいて補間すると、次のようになります。 W(×）と製品 腹筋 。 Kalachuba 乗算の場合、この手法は、特に並列ハードウェアで実装された場合、通常の数値入力の 2 次乗算よりも高速です。

参考文献

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/