ラプラス演算子 / ラプラシアン

数学と物理学では、ラプラス演算子またはラプラシアンは、ユークリッド空間における関数の勾配の発散によって与えられる微分演算子であり、通常は次のように書かれます。 {\displaystyle \Delta }、{\displaystyle \nabla ^{2}} または {\displaystyle \nabla \cdot \nabla }。

フランスの数学者ピエール＝シモン・ラプラス (1749 ～ 1827 年) にちなんで命名されました。彼は天力学を研究しており、与えられた重力ポテンシャルに適用されると質量密度の定数倍を与える演算子を数学で初めて応用しました。ラプラシアン演算子はゼロに評価されます {\displaystyle \Delta f=0} の関数は調和関数と呼ばれ、現在ではラプラス方程式と呼ばれており、自由空間における可能な重力場を表します。

ラプラス演算子は、多くの物理現象を記述する微分方程式に現れます。たとえば、波動方程式、熱伝導方程式、流体力学、ヘルムホルツ方程式の数学モデルでよく使用されます。静電気学では、ラプラス方程式とポアソン方程式の応用がいたるところで見られます。量子力学では、シュレディンガー方程式の運動エネルギー項を表します。

ラプラス演算子は最も単純な楕円演算子であり、ラプラス演算子はホッジ理論の核心であり、ドラム コホモロジーの結果です。画像処理やコンピュータ ビジョンでは、ラプラシアン オペレータはブロブ検出やエッジ検出などのさまざまなタスクに使用されています。

参考文献

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%AE%97%E5%AD%90