核の規範行列の特異値の合計であり、行列の低ランクを制約するために使用されます。スパース データの場合、行列は低ランクであり、データの復元や特徴の抽出に使用できる大量の冗長情報が含まれています。

核規範の定義

行列 X の核ノルムは次のように定義されます。

$latex {{ \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{\*}}\text{ }=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{X\mathop {{}}\nolimits^{{T}}X}}} \right) }}$latex∥X∥_\* = tr(XTX​)

上の式によれば、X $latex {X\text{ }=\text{ }U \Sigma V\mathop{{} の固有値分解を考慮すると、核ノルムは行列の固有値の合計に等しいと結論付けることができます。 }\nolimits^ {{T}}}$latexX = UΣVの固有値分解を考慮すると、核ノルムは行列の固有値の合計に等しいと結論付けることができます。T、次の結論が得られます。

latex {\begin{array}{\*{20}{l}} {tr{ \left( {\sqrt{{X\mathop{{}}\nolimits^{{T}}X}}} \right) } }&{=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{{ \left( {U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{T}}U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}} \right) }}\\ {}&{=\text { }tr{ \left( {\sqrt{{V \Sigma \mathop{{}}\nolimits^{{T}}U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}}} \right) }}\\ {}&{=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{V \Sigma \mathop{ {}}\nolimits^{{2}}V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}} \right) }\text{ }{ \left( { \Sigma \mathop{{}}\nolimits^{{T}}= \Sigma } \right) }}\\ {}&{=\text{ }tr{ \left( {\sqrt{{V\mathop{{} }\nolimits^{{T}}V \Sigma \mathop{{}}\nolimits^{{2}}}} \right) }}\\ {}&{=\text{ }tr{ \left( { \シグマ } \right) }} \end{配列}}

凸性の証明

既知の情報によると、行列誘導ノルムは凸型です。つまり、次のとおりです。

$latex {f\mathop{{}}\nolimits\_{{x}}{ \left( {A} \right) }\text{ }=\text{ }{ \left\Vert {Ax} \right\Vert } とします\mathop{{}}\nolimits\_{{p}}\text{ }{ \left( {p \ge 1} \right) }}$latexf_x(A) = ∥Ax∥とします_p (p≥1) ,次に、$latex {f\mathop{{}}\nolimits\_{{x}}}$latexf_x は凸であるため、$latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{p} } \text{ }=\text{ }\mathop{{sup}}\limits\_{{{ \left\Vert {x} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{p}}=1}}\text{ }f\mathop{{}}\nolimits\_{{x}}{ \left( {A} \right) }}$latex∥A∥_p = sup_∥x∥_p=1 f_x(A) 凸、一方で $latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{2}}}$latex∥A∥_2 $latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{\*}}}$latex∥A∥_\* および $latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{ {}}\nolimits\_{{2}}}$latex∥A∥_2 は双対標準であるため、$latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{\*}}}$latex∥A∥_\* 凸 ($latex {{ \left\Vert {A} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{\*}} \text{ }=\text{ }\mathop{{sup}}\limits\_{{{ \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{2}}=1}}\text{ }tr{ \left( {{A\mathop{{}}\nolimits^{{T}}X}} \right) }}$latex∥A∥_\* = sup_∥X∥_2=1 tr(ATX))。

グラジエント溶液

上記の SVD の仮定に基づいて、次のように結論付けることができます。

$latex {\frac{{ \partial { \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{\*}}}}{{ \partial X}}\text{ }=\text { }\frac{{ \partial tr{ \left( { \Sigma } \right) }}}{{ \partial X}}\text{ }=\text{ }\frac{{tr{ \left( { \partial \Sigma } \right) }}}{{ \partial X}}}$latex∂X∂∥X∥_\*​ = ∂X∂tr(Σ)​ = ∂Xtr(∂Σ)​

したがって、$latex {X\text{ }=\text{ }U \Sigma V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}$latexX = UΣVT を考慮して、$latex { \partial \Sigma }$latex∂Σ を解く必要があります。それで：

latex {\begin{array}{\*{20}{l}} {}&{ \partial X}&{=\text{ }{ \left( { \partial U} \right) } \Sigma V\mathop{ {}}\nolimits^{{T}}\text{ }+\text{ }U{ \left( { \partial \Sigma } \right) }V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}\text{ }+\text{ }U \Sigma { \left( { \partial V\mathop{{}}\nolimits^{{T}} } \right) }}\\ { \Rightarrow }&{ \partial \Sigma }&{=\text{ }U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial X} \right) }V\text{ }-\text{ }U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial U} \right) } \Sigma \text { }-\text{ } \Sigma { \left( { \partial V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }V}\\ {}&{}&{=U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial X} \right) }V\text{ }\text{ }\text{ }\ text{ }{ \left( {-U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial U} \right) } \Sigma – \Sigma { \left( { \partial V\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }V\text{ }=\text{ }0} \right) }} \end{array}}

それで：

$latex {\frac{{ \partial { \left\Vert {X} \right\Vert }\mathop{{}}\nolimits\_{{\*}}}}{{ \partial X}}\text{ }=\text { }\frac{{tr{ \left( { \partial \Sigma } \right) }}}{{ \partial X}}\text{ }=\text{ }\frac{{tr{ \left( {U\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial X} \right) }V} \right) }}}{{ \部分 X}}\text{ }=\text{ }\frac{{tr{ \left( {VU\mathop{{}}\nolimits^{{T}}{ \left( { \partial X} \right) }} \right) }}}{{ \partial X}} \text{ }=\text{ }{ \left( {VU\mathop{{}}\nolimits^{{T}}} \right) }\mathop{ {}}\nolimits^{{T}}\text{ }=\text{ }UV\mathop{{}}\nolimits^{{T}}}$latex∂X∂∥X∥_\*​ = ∂Xtr(∂Σ)​ = \部分Xtr(UT(∂X)V)​ = ∂Xtr(VUT(∂X))​ = (VUT)T = UVT