特異値分解対称行列固有ベクトル分解の基礎はスペクトル解析であり、特異値分解はスペクトル解析理論を任意の行列に拡張したものです。

理論式

M が m×n 次の行列であり、すべての要素が領域 K、つまり実数領域または複素数領域に属するとします。この場合、M = UΣV* のような分解が行われます。ここで、U は次数 m×m のユニタリ行列、Σ は次数 m×n の非負の実対角行列、V* は V の共役転置です。はn×n次のユニタリ行列であり、この分解をMの特異値分解と呼び、Σの対角線上の要素Σi,iがMの特異値となります。

行列 M の特異値分解では M = UΣV*

• V の列はペア M のセットを形成します。 直交する「入力」または「解析」基底ベクトル。これらのベクトルは M*M です 固有ベクトル。
• U の列はペア M のセットを形成します。 直交「出力」の基底ベクトル。これらのベクトルは、 MM* 固有ベクトル。
• Σ 対角線上の要素は特異値であり、入力と出力の間のスカラー「拡張制御」とみなすことができます。これらは MM*  そしてM*M の固有値の非負の平方根は、 U と V の行ベクトルに対応します。

グラフィック表現と幾何学的意味

特異値分解は、行列の 3 つの分解ステップとして見ることができます: 回転 Vt、伸縮 Σ、そして回転 U

特異値分解アプリケーション

• 一般化逆行列を求める
• 行列の列空間、null 空間、ランクを表現します。
• 行列近似を求める

関連語: ユニタリ行列、スペクトル分解

親単語: 行列因数分解