超平面の分離
超平面の分離2 つの素な凸集合を 2 つの部分に分割する平面を指します。
数学では、超平面は、n 次元ユークリッド空間で共次元が 1 に等しい線形部分空間です。低次元の場合、それは平面内の直線であり、空間内の平面です。
分離超平面定理
2 つの和集合 C と D (互いに素、つまり C ∩ D = ∅) があり、両方の集合が凸集合である場合、
その場合、超平面が存在する必要があります (超平面は凸集合とアフィン集合の両方です)。
集合 C 内のすべての点 x が次を満たすように、 T x ≤ b 、 x ∈ C、集合 D 内のすべての点 x は a を満たします。 T x ≥ b、x ∈ D、
つまり、アフィン関数 a T – b はセット C では非正であり、セット D では非負です。
超平面 { x ∣ a T = b } は、以下に示すように、集合 C と D の分割超平面と呼ばれます。
逆の定理
分離超平面定理の逆 (逆分離超平面定理):
任意の 2 つの凸集合 C および D について、少なくとも 1 つが開集合である場合、集合 C と D の間に分離超平面がある場合にのみ、集合 C と D は素になります。