正定行列は、すべての固有値が 0 より大きい対称行列です。線形代数における正定行列は、複素数における正の実数と同様の性質を持つエルミート行列です。正定行列に対応する線形演算子は対称です。正定双線形形式。

正定行列のプロパティ

• 正定行列の行列式は常に正です。
• 実対称行列 A は、A が単位行列と一致する場合にのみ正定値です。
• A が正定行列の場合、A の逆行列も正定行列になります。
• 2 つの正定行列の合計は正定行列です。
• 正の実数と正定行列の積が正定行列です。

正定行列判定

正定行列の定義と性質によれば、対称行列 A の正定性を判断するには次の 2 つの方法があります。

• A のすべての固有値を求めます。A の固有値がすべて正の数である場合、A は正定値です。A の固有値がすべて負の数である場合、A は負定値です。
• A の各次数の主部分式を計算します。 A の各次数の主部分式が 0 より大きい場合、A の各次数の主部分式のうち、奇数の場合、A は正定値です。次数の主式が負で、偶数次の主式が正の場合、A は負になります。

正定行列のアプリケーション

たとえば、正定値行列の特性には、固有の LDU 分解があり、それが実対称である場合は、行列をさらに GGT に分解することができ、サンプルの共分散行列は次のようになります。実対称正定行列。

関連語: 行列、固有値