固有分解

固有分解は行列を固有値と固有ベクトルで表される行列の積に分解する手法ですが、固有分解できるのは対角化可能な行列のみです。

固有値は、線形変化における固有ベクトルの長さのスケーリング比として見ることができます。固有値が正の場合は、$latex v $ の方向が線形変換後に変化しないことを意味します。方向が反転します。固有値が 0 の場合は、ゼロ点に戻ることを意味します。

標準行列の固有分解

A が N x N の正方行列であり、N 個の線形独立固有ベクトル Qi (i = 1, 2, 3,... \mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{-1} を持つとします) $

このうち Q は N i} $

対称行列の固有分解

N x N の実対称行列には N 個の線形に独立した固有ベクトルがあり、それらはすべて直交単位化して法 1 の直交ベクトルのセットを取得できます。 したがって、対称行列 A は $latex \mathbf{A }=\mathbf に分解できます。 {Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{T} $

正規行列の固有分解

同様に、複素正規行列には一連の直交固有ベクトル基底があるため、正規行列は $latex \mathbf{A}=\mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^{H} $ に分解できます。

U がユニタリ行列である場合、A がエルミート行列の場合、対角行列 Λ の対角要素はすべて実数であると結論付けることができます。複素平面 単位円上で求めます。