OGF: 不安定な乱流の統計的定常状態の時間平均を最適化するためのオンライン勾配流手法

乱流は非規則的で不安定であるが、その統計的分布は統計的な定常状態に収束します。関心のある工学量は通常、時間平均の統計値の形を取ります。例えば、1/t ∫_0^t f(u(x,τ;θ)) dτ → t→∞ F(x;θ) であり、ここで u(x,t;θ) はパラメータ θ を持つナビエ・ストークス方程式の解です。F(x;θ) の最適化には多くの工学的な応用があり、幾何最適化、流れ制御、閉鎖モデル化などが含まれます。しかし、これは未解決の課題であり、既存の計算手法では物理的に妥当な数の格子点へのスケーリングが不可能です。根本的な障壁は乱流の非規則性にあります：随伴法で計算された勾配は t→∞ において指数関数的に発散します。 私たちは新しいオンライン勾配流（OGF）手法を開発しました。この手法は大自由度系にもスケーリング可能であり、非規則的かつ不安定な乱流解析シミュレーションの定常状態統計値を最適化するための方法を提供します。本手法では、F(x;θ) の勾配に対するオンライン推定値を前進させながら、パラメータ θ のオンライン更新を行うことが特徴です。重要なポイントはアルゴリズムが完全にオンラインであることであり、これにより最適化プロセスが加速され、非規則性による勾配の発散を回避するために有限差分推定器と組み合わせることが可能となります。 提案された OGF 手法は、3つの非規則的な常微分方程式および偏微分方程式に対する最適化問題で示されました：ローレンツ-63 方程式（Lorenz-63 equation）、クラマト・シヴァーシンスキー方程式（Kuramoto--Sivashinsky equation）、そして圧縮性強制均質各向同性乱流のナビエ・ストークス解です。それぞれの場合において、OGF 手法は F(x;θ) に基づく損失を数桁削減し、最適パラメータを正確に回復することに成功しました。