Lois 0-1 pour les occurrences de motifs dans les arbres et réseaux phylogénétiques

Dans un article récent, la question de déterminer la fraction d'arbres binaires contenant un motif fixe connu sous le nom de flocon de neige a été posée. Nous montrons que cette fraction tend vers 1, en fournissant deux preuves très différentes : une preuve purement combinatoire qui est quantitative et spécifique à ce problème ; et une preuve utilisant des techniques de processus de branchement, moins explicite mais beaucoup plus générale, car elle s'applique à tout motif fixe et peut être étendue à d'autres types d'arbres et de réseaux. En particulier, il découle immédiatement de notre deuxième preuve que la fraction d'arbres $d$-aires (resp. réseaux de niveau $k$) contenant un arbre $d$-aire fixe (resp. réseau de niveau $k$) tend vers 1 lorsque le nombre de feuilles augmente.