Verallgemeinerte Rayleigh-EntropieEs kann als Erweiterung der Rayleigh-Entropie betrachtet werden, die sich auf die Funktion R(A,B,x) bezieht:

$latex {R{ \left( {A,B,x} \right) }\text{ }=\text{ }\frac{{x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Ax}}{{x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Bx}}}$latexR(A,B,x) = xHBxxHAx​

Wobei x ein von Null verschiedener Vektor ist, A und B n×n Hermitesche Matrizen sind und B eine positiv definite Matrix ist. Sei $latex {x\text{'}\text{ }=\text{ }B\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}x}$latexx’ = B−1/2x , dann lässt sich der Nenner umformen in:

latex {x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Bx\text{ }=\text{ }x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}{ \left( {B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}}} \right) }\mathop{{}}\nolimits^{{H}}BB\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}x\text{'}\text{ }=\text{ }x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}BB\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}x\text{'}\text{ }={x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}x\text{'}}}

Der Zähler wird umgewandelt in:

$latex {x\mathop{{}}\nolimits^{{H}}Ax\text{ }=\text{ }x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-{{1}/{2}}}}AB\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}x\text{'}}$latexxHAx = x’HB−1/2AB−1/2x’

zu diesem Zeitpunkt R(A,B,x) wird in ​R(A,B,x′) transformiert:

$latex {R{ \left( {A,B,x\text{'}} \right) }\text{ }=\text{ }\frac{{x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}B\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}AB\mathop{{}}\nolimits^{{-1/2}}x\text{'}}}{{x\text{'}\mathop{{}}\nolimits^{{H}}x\text{'}}}}$latexR(A,B,x’) = x’Hx’x’HB−1/2AB−1/2x’​

Aus der obigen Formel können wir schließen, dass die verallgemeinerte Rayleigh-Entropie die Matrix standardisieren kann, was bei der linearen Diskriminanzanalyse von Fisher eine wichtige Rolle spielt.

Verweise

【1】Rayleigh-Quotienten- und Extremwertberechnung

【2】Zusammenfassung des Prinzips der linearen Diskriminanzanalyse (LDA)