Eigenwertzerlegung

EigenzerlegungEs handelt sich um eine Methode zur Darstellung des Produkts von Matrizen durch Zerlegung der Matrix in Eigenwerte und Eigenvektoren, wobei jedoch nur diagonale Matrizen in Eigenwerte zerlegt werden können.

Die Matrizenmultiplikation entspricht einer Transformation, d. h., sie besteht darin, einen beliebigen Vektor in einen neuen Vektor anderer Richtung und Länge umzuwandeln. Bei diesem Vorgang wird der Originalvektor gedreht und skaliert. Wenn die Matrix nur einige Vektoren skaliert, ohne sie zu drehen, werden diese als Eigenvektoren der Matrix bezeichnet und das Skalierungsverhältnis ist der Eigenwert.

Durch Eigenwertzerlegung wird die Matrix A in die folgende Form zerlegt:

Unter diesen besteht die Matrix Q aus den Eigenvektoren der Matrix A,Σ ist eine Diagonalmatrix. Jedes Diagonalelement ist ein Eigenwert. Die Eigenwerte sind von groß nach klein geordnet. Die diesen Eigenwerten entsprechenden Eigenvektoren beschreiben die Richtung der Matrixänderung. Mit anderen Worten können die Informationen der Matrix A durch Eigenwerte und Eigenvektoren dargestellt werden.

Verweise

【1】Konzeptzusammenfassung der Eigenwertzerlegung, Singulärwertzerlegung und PCA