Verallgemeinerte lineare ModelleEs handelt sich um ein flexibles lineares Regressionsmodell, das es der abhängigen Variable ermöglicht, eine andere Verteilungsform als die Normalverteilung anzunehmen.

Definition

Das verallgemeinerte lineare Modell ist eine Erweiterung der einfachen Kleinstquadrate-Regression. Unter der Annahme, dass jede Datenbeobachtung $latex {Y}$latexY aus einer Exponentialverteilungsschar stammt, kann der Mittelwert $latex {\mu}$latexμ der Verteilung durch den unabhängigen Wert $latex {X}$latexX an diesem Punkt erklärt werden:

$latex {E{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ } \mu \text{ }=\text{ }g\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}{ \left( {X \beta } \right) }}$latexE(y) = μ = g−1(Xβ)

Darunter ist $latex {E{ \left( {y} \right) }}$latexE(y) der erwartete Wert von $latex {y}$latexy, $latex {X \beta }$latexXβ ist die lineare Schätzformel, die aus den unbekannten zu schätzenden Parametern $latex {\beta }$latexβ und den bekannten Variablen $latex {X}$latexX besteht, und $latex {g}$latexg ist die Verknüpfungsfunktion.

In diesem Modus kann die Varianz $latex {y}$latexy von $latex {V}$latexV wie folgt ausgedrückt werden:

$latex {Var{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ }V{ \left( { \mu } \right) }\text{ }=\text{ }V{ \left( {g\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}{ \left( {X \beta } \right) }} \right) }}$latexVar(y) = V(μ) = V(g−1(Xβ))

wobei $latex {V}$latexV als Funktion einer exponentiellen Zufallsvariablen betrachtet werden kann und der unbekannte Parameter $latex {\beta }$latexβ üblicherweise mit dem Maximum-Likelihood-Schätzer, dem Nearly-Maximum-Likelihood-Schätzer oder der Bayes-Methode geschätzt wird.

Modellzusammensetzung

Das verallgemeinerte lineare Modell besteht aus den folgenden Hauptteilen:

1. Verteilungsfunktion $latex {f}$latexf aus der Exponentialfamilie.

2. Linearer Prädiktor $latex { \eta \text{ }=\text{ }X \beta }$latexη = Xβ .

3. Die Linkfunktion $latex {g}$latexg so dass $latex {E{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ } \mu \text{ }=\text{ }g\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}{ \left( {\eta } \right) }}$latexE(y) = μ = g−1(η) .

Verweise

【1】Verallgemeinertes lineares Modell – Wikipedia