Verallgemeinerte lineare ModelleEs handelt sich um ein flexibles lineares Regressionsmodell, das es der abhängigen Variable ermöglicht, eine andere Verteilungsform als die Normalverteilung anzunehmen.

Definition

Das verallgemeinerte lineare Modell ist eine Erweiterung der einfachen Kleinstquadrate-Regression. Unter der Annahme, dass jede Datenbeobachtung $latex {Y}$ aus einer Exponentialverteilungsschar stammt, kann der Mittelwert $latex {\mu}$ der Verteilung durch den unabhängigen Wert $latex {X}$ an diesem Punkt erklärt werden:

$latex {E{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ } \mu \text{ }=\text{ }g\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}{ \left( {X \beta } \right) }}$

Darunter ist $latex {E{ \left( {y} \right) }}$ der erwartete Wert von $latex {y}$, $latex {X \beta }$ ist die lineare Schätzformel, die aus den unbekannten zu schätzenden Parametern $latex {\beta }$ und den bekannten Variablen $latex {X}$ besteht, und $latex {g}$ ist die Verknüpfungsfunktion.

In diesem Modus kann die Varianz $latex {y}$ von $latex {V}$ wie folgt ausgedrückt werden:

$latex {Var{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ }V{ \left( { \mu } \right) }\text{ }=\text{ }V{ \left( {g\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}{ \left( {X \beta } \right) }} \right) }}$

wobei $latex {V}$ als Funktion einer exponentiellen Zufallsvariablen betrachtet werden kann und der unbekannte Parameter $latex {\beta }$ üblicherweise mit dem Maximum-Likelihood-Schätzer, dem Nearly-Maximum-Likelihood-Schätzer oder der Bayes-Methode geschätzt wird.

Modellzusammensetzung

Das verallgemeinerte lineare Modell besteht aus den folgenden Hauptteilen:

1. Verteilungsfunktion $latex {f}$ aus der Exponentialfamilie.

2. Linearer Prädiktor $latex { \eta \text{ }=\text{ }X \beta }$ .

3. Die Linkfunktion $latex {g}$ so dass $latex {E{ \left( {y} \right) }\text{ }=\text{ } \mu \text{ }=\text{ }g\mathop{{}}\nolimits^{{-1}}{ \left( {\eta } \right) }}$ .

Verweise

【1】Verallgemeinertes lineares Modell – Wikipedia