Hilbert-Raum

Hilbert-RaumDas heißt, der vollständige innere Produktraum, der als vollständiger Vektorraum mit inneren Produkten verstanden werden kann.

Der Albert-Raum basiert auf dem endlichdimensionalen euklidischen Raum und kann als Verallgemeinerung des letzteren angesehen werden. Es ist nicht auf reelle Zahlen und endliche Dimensionen beschränkt, aber es ist nicht vollständig. Wie der euklidische Raum ist auch der Hilbert-Raum ein Innenproduktraum und verfügt über die Konzepte Abstand und Winkel. Es handelt sich außerdem um einen vollständigen Raum, in dem alle Cauchy-Folgen zu einem Punkt konvergieren, sodass die meisten Konzepte der Differential- und Integralrechnung ohne Hindernisse auf den Hilbert-Raum ausgedehnt werden können.

Der Hilbert-Raum bietet eine effektive Möglichkeit, Fourier-Reihen und Fourier-Transformationen basierend auf Polynomen in jedem orthogonalen System auszudrücken. Dies ist eines der Kernkonzepte der Funktionalanalyse und auch eines der Schlüsselkonzepte der Postulatmathematik und der Quantenmechanik.