Die Methode Der Kleinsten Quadrate

Methode der kleinsten QuadrateEs handelt sich um eine mathematische Optimierungsmethode, die durch Minimierung der Summe der Fehlerquadrate die beste Übereinstimmungsfunktion für Daten findet. Mit der Methode der kleinsten Quadrate können unbekannte Daten schnell ermittelt werden, und die Summe der Fehlerquadrate zwischen den ermittelten Daten und den tatsächlichen Daten wird minimiert.

Die Form der Methode der kleinsten Quadrate

Das Prinzip der Methode der kleinsten Quadrate lautet:

Zielfunktion = ∑ (beobachteter Wert – theoretischer Wert)²

Die Methode der kleinsten Quadrate ist eine Standardmethode zum Erhalten von Näherungslösungen für überbestimmte Systeme (Systeme mit mehr Gleichungen als Unbekannten) mithilfe der Regressionsanalyse. In der Gesamtlösung wird mit der Methode der kleinsten Quadrate das Ergebnis jeder Gleichung berechnet und die Summe der Quadrate der Residuen minimiert.

Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate

Die Methode der kleinsten Quadrate wird häufig zur Kurvenanpassung verwendet. Die beste Anpassung, die durch die Methode der kleinsten Quadrate abgedeckt wird, besteht darin, die Summe der Quadrate der Residuen (die Differenz zwischen den beobachteten Werten und den vom Modell bereitgestellten angepassten Werten) zu minimieren.

Kleinste-Quadrate-Probleme werden üblicherweise in lineare und nichtlineare kleinste Quadrate unterteilt, die dadurch bestimmt werden, ob die Residuen bei allen Unbekannten linear sind.

Lineare Kleinstquadrate-Probleme treten häufig in der statistischen Regressionsanalyse auf und haben eine geschlossene Lösung; Nichtlineare Probleme werden normalerweise durch iterative Verfeinerung gelöst, wobei bei jeder Iteration eine lineare Annäherung an das System erfolgt, sodass der Kernalgorithmus in beiden Fällen derselbe ist.

Wenn die Beobachtungen aus einer Exponentialfamilie stammen und milde Bedingungen erfüllt sind, sind die Kleinstquadrate- und Maximum-Likelihood-Schätzungen identisch.

Einschränkungen der Methode der kleinsten Quadrate

Probleme mit einfacher Regression und kleinsten Quadraten treten auf, wenn das Problem große Unsicherheiten in den unabhängigen Variablen aufweist. In diesem Fall sollte ein anderer Ansatz als der der kleinsten Quadrate in Betracht gezogen werden, um das Modell an die Variablen-Fehler-Anpassung anzupassen.