Sattelpunkt

SattelpunktEs handelt sich dabei um einen stationären Punkt, der kein lokaler Extrempunkt ist.

Im Allgemeinen ist ein Sattelpunkt einer glatten Funktion (Kurve, Oberfläche oder Hyperfläche) ein Punkt, bei dem alle seine Nachbarn auf verschiedenen Seiten der Tangente zu diesem Punkt liegen.

Definition von Sattelpunkten in verschiedenen Bereichen

In Differentialgleichungen wird eine Singularität, die in einer Richtung stabil, in einer anderen jedoch instabil ist, als Sattelpunkt bezeichnet.

In der Funktionaltheorie wird ein kritischer Punkt, der weder ein Maximalpunkt noch ein Minimalpunkt ist, als Sattelpunkt bezeichnet.

In einer Matrix wird eine Zahl, die den Maximalwert in ihrer Zeile und den Minimalwert in ihrer Spalte aufweist, als Sattelpunkt bezeichnet.

In der Physik ist der Begriff weiter gefasst und bezieht sich auf einen Punkt, der in einer Richtung ein Maximum und in einer anderen Richtung ein Minimum aufweist.

Sattelpunktidentifikation

Wie in der folgenden Abbildung gezeigt, stammt der Begriff Sattelpunkt von der zweidimensionalen Grafik der unbestimmten quadratischen Form z = x^2 – y^2, die wie ein Sattel aussieht: Sie ist in Richtung der x-Achse nach oben und in Richtung der y-Achse nach unten gekrümmt.

Für Funktionen mit nur einer Variablen. Die erste Ableitung dieser Funktion am Sattelpunkt ist gleich Null und die zweite Ableitung ändert das Vorzeichen. Beispielsweise hat die Funktion y = x^3 einen Sattelpunkt am Ursprung.

Eine einfache Möglichkeit zu testen, ob ein stationärer Punkt einer reellen Funktion F(x,y) mit zwei Variablen ein Sattelpunkt ist, besteht darin, die Hesse-Matrix der Funktion an diesem Punkt zu berechnen: Wenn die Matrix unbestimmt ist, dann ist der Punkt ein Sattelpunkt.

Verwandte Wörter: stationärer Punkt, Wendepunkt, Extremwert.

Quellen:

【1】https://www.csdn.net/article/2015-11-05/2826132

【2】https://zh.wikipedia.org/wiki/saddlepoint