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Interpolation wird auch als „Interpolationsverfahren“ bezeichnet. Dabei werden die Funktionswerte der Funktion f(x) an mehreren bekannten Punkten in einem bestimmten Intervall verwendet, um eine entsprechende spezifische Funktion zu erstellen, und der Wert dieser spezifischen Funktion wird als Näherungswert der Funktion f(x) an anderen Punkten im Intervall verwendet. Diese Methode wird Interpolation genannt. Wenn es sich bei dieser speziellen Funktion um ein Polynom handelt, spricht man von einer Polynominterpolation. Einige häufig verwendete Methoden zur Polynominterpolation sind: direkte Methode, Lagrange-Interpolationsmethode und Newton-Interpolationsmethode.

Definition

Datenpunkte (X_ich,y_ich), zwei davon X_ich Sie sind alle unterschiedlich, also müssen Sie eine zufriedenstellende finden

P(x_ich) =y_ich, i=0,…, n

Ein Polynom der Ordnung p, das nicht größer als die Ordnung n ist. Der Eindeutigkeitssatz besagt, dass es genau ein solches Polynom der Ordnung p gibt.

Komplexer ausgedrückt lässt sich dieses Polynom wie folgt ausdrücken: für n+1 Stützstellen (x_ich), definiert die Polynominterpolation eine lineare Bijektion

{\displaystyle L_{n}:\mathbb {K} ^{n+1}\to \Pi _{n}}

In $\Pi_{n}$ ist kleiner oder gleich N Der Vektorraum der Polynome.

In praktischen Anwendungen können diese Interpolationspunkte aus Daten stammen, die aus einer experimentellen Messung gewonnen wurden, oder aus dem Wert einer komplexen Funktion y=f(x). Durch Berechnung des Interpolationspolynoms können wir die Muster zwischen diesen experimentellen Daten finden oder eine einfache Polynomfunktion y=P(z) verwenden, um eine komplexe Funktion y=f(x) anzunähern.

Konstruktion eines polynomischen Interpolanten

Angenommen, das Interpolationspolynom hat die Form

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.\qquad (1)$

P Das Interpolieren von Datenpunkten bedeutet

{\displaystyle p(x_{i})=y_{i}\qquad {\mbox{für alle }}i\in \left\{0,1,\dots ,n\right\}.}

Wenn wir in Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir die Koeffizienten $a_{k}$ Das lineare Gleichungssystem von ${\begin{bmatrix}x_{0}^{n}&x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n-2}&\ldots &x_{0}&1\\x_{1}^{n}&x_{1}^{n-1}&x_{1}^{n-2}&\ldots &x_{1}&1\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\x_{n}^{n}&x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n-2}&\ldots &x_{n}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{n}\\a_{n-1}\\\vdots \\a_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}.$

So konstruieren Sie das Interpolationspolynom $p(x)$ , um dieses System zu lösen, berechnen Sie die Koeffizienten $a_{k}$ .

Die Matrix auf der linken Seite wird üblicherweise als Vandermonde-Matrix bezeichnet und ihre Determinante ist ungleich Null, was den Eindeutigkeitssatz beweist: Es gibt nur ein Interpolationspolynom.

Anwendungen der Polynominterpolation

Mithilfe von Polynomen können bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten komplexe Kurven, wie beispielsweise Text in der Typografie, approximiert werden. Eine verwandte Anwendung ist die Schätzung des Werts des natürlichen Logarithmus und trigonometrischer Funktionen: Wählen Sie einige bekannte Datenpunkte aus, erstellen Sie eine Nachschlagetabelle und interpolieren Sie dann zwischen diesen Datenpunkten. Dies führt zu sehr schnellen Berechnungen. Darüber hinaus ist die Polynominterpolation auch die Grundlage von Algorithmen in der numerischen Integration und bei numerischen gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Die Polynominterpolation ist auch bei subquadratischen Multiplikations- und Quadrierungsoperationen von entscheidender Bedeutung. Beispielsweise gibt es A = F(X) = A₀X⁰ + A₁X¹ + … und B = G(X) = B₀X⁰ + B₁X¹ + … dann das Produkt ab gleich W(X) = F(X)G(X) . Eine Interpolation auf Grundlage dieser Punkte ergibt W(X) und das Produkt ab . Bei der Karatchuba-Multiplikation ist diese Technik schneller als die quadratische Multiplikation bei einer normalen Anzahl von Eingaben, insbesondere wenn sie in paralleler Hardware implementiert ist.

Verweise

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/