Laplace-Operator / Laplace-Operator

In der Mathematik und Physik ist der Laplace-Operator oder Laplace-Operator ein Differentialoperator, der durch die Divergenz des Gradienten einer Funktion im euklidischen Raum gegeben ist und üblicherweise wie folgt geschrieben wird: , oder .

Es ist zu Ehren des französischen Mathematikers Pierre-Simon Laplace (1749–1827) benannt. In seiner Studie zur Himmelsmechanik wandte er erstmals in der Mathematik einen Operator an, der ein konstantes Vielfaches der Massendichte ergibt, wenn er auf ein gegebenes Gravitationspotential angewendet wird. Der Laplace-Operator ist Null.  Die Funktion von wird als harmonische Funktion bezeichnet, ist heute als Laplace-Gleichung bekannt und stellt das mögliche Gravitationsfeld im freien Raum dar.

Der Laplace-Operator erscheint in Differentialgleichungen, die viele physikalische Phänomene beschreiben. Mathematische Modelle werden beispielsweise häufig in Wellengleichungen, Wärmeleitungsgleichungen, der Strömungsmechanik und der Helmholtz-Gleichung verwendet. In der Elektrostatik sind die Anwendungen der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung allgegenwärtig. In der Quantenmechanik stellt es den kinetischen Energieterm in der Schrödingergleichung dar.

Der Laplace-Operator ist der einfachste elliptische Operator und bildet das Herzstück der Hodge-Theorie sowie eine Folge der de Rham-Kohomologie.In der Bildverarbeitung und Computervision wird der Laplace-Operator für verschiedene Aufgaben wie Blob-Erkennung und Kantenerkennung verwendet.

Verweise

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%AE%97%E5%AD%90