Tensor

TensorEs handelt sich um eine multilineare Funktion, die zur Darstellung linearer Beziehungen zwischen Vektoren, Skalaren und anderen Tensoren verwendet werden kann. Grundlegende Beispiele für diese linearen Beziehungen sind innere Produkte, äußere Produkte, lineare Abbildungen und kartesische Produkte.

Koordinaten im N-dimensionalen Raum haben N ^ r Komponenten, von denen jede eine Funktion der Koordinaten ist. Bei der Transformation der Koordinaten unterliegen auch diese Komponenten nach bestimmten Regeln linearen Transformationen, wobei r als Rang oder Ordnung des Tensors bezeichnet wird.

Im isomorphen Sinne sei der Tensor nullter Ordnung (r = 0) ein Skalar, der Tensor erster Ordnung (r = 1) ein Vektor und der Tensor zweiter Ordnung (r = 2) eine Matrix.

Abhängig von der Transformationsmethode können Tensoren in drei Kategorien unterteilt werden: „kovariante Tensoren“ mit Index nach unten, „kontravariante Tensoren“ mit Index nach oben und „gemischte Tensoren“ mit Index nach oben und nach unten.