Singulärwertzerlegung
SingulärwertzerlegungEs handelt sich um eine Methode zur Matrixzerlegung. Die Grundlage der Eigenvektorzerlegung symmetrischer Arrays ist die Spektralanalyse, und die Singulärwertzerlegung ist die Verallgemeinerung der Theorie der Spektralanalyse auf beliebige Matrizen.
Theoretische Beschreibung
Nehmen wir an, dass M eine m×n-Matrix ist, deren Elemente alle zum Körper K gehören, also zum reellen Körper oder zum komplexen Körper. In diesem Fall gibt es eine Zerlegung, sodass M = UΣV*, wobei U eine unitäre m×m-Matrix ist; Σ ist eine m×n nicht-negative reelle Diagonalmatrix; und V*, also die konjugierte Transponierte von V, ist eine n×n-unitäre Matrix. Eine solche Zerlegung wird als Singulärwertzerlegung von M bezeichnet, und die Elemente Σi,i auf der Diagonale von Σ sind die Singulärwerte von M.
Bei der Singulärwertzerlegung der Matrix M M = UΣV*
- Die Spalten von V bilden eine Reihe von Paaren von M Die orthogonalen „Eingabe“- oder „Analyse“-Basisvektoren von . Diese Vektoren sind M*M Der Merkmalsvektor von .
- Die Spalten von U bilden eine Reihe von Paaren von M Die Basisvektoren der orthogonalen „Ausgabe“. Diese Vektoren sind MM* Der Merkmalsvektor von .
- Die Elemente auf der Σ-Diagonale sind singuläre Werte, die als skalare „Erweiterungssteuerung“ zwischen Eingabe und Ausgabe betrachtet werden können. Diese sind MM* und M*M Die nicht-negativen Quadratwurzeln der Eigenwerte von , entsprechend den Zeilenvektoren von U und V .
Grafische Darstellung und geometrische Bedeutung
Die Singulärwertzerlegung kann als drei Schritte der Matrixzerlegung betrachtet werden: Drehen von Vt, Skalieren von Σ und erneutes Drehen von U
Anwendungen der Singulärwertzerlegung
- Finden Sie die verallgemeinerte inverse Matrix
- Geben Sie eine Darstellung des Spaltenraums, des Nullraums und des Rangs einer Matrix an
- Matrixnäherungen finden