Trennende HyperebeneEs handelt sich um eine Ebene, die zwei sich nicht schneidende konvexe Mengen in zwei Teile teilt.

In der Mathematik ist eine Hyperebene ein linearer Unterraum in einem n-dimensionalen euklidischen Raum mit einer Kodimension gleich 1. Bei niedrigen Dimensionen ist sie eine Gerade in einer Ebene und eine Ebene im Raum.

Satz zur Trennung von Hyperebenen

Wenn es zwei Vereinigungsmengen C und D gibt (disjunkt, d. h. C ∩ D = ∅) und beide Mengen konvex sind,

Dann muss es eine Hyperebene geben (eine Hyperebene ist sowohl eine konvexe Menge als auch eine affine Menge),

Damit gilt für alle Punkte x in der Menge C ein ^T x ≤ b , x ∈ C, alle Punkte x in der Menge D erfüllen eine ^T x ≥ b, x ∈ D,

Mit anderen Worten, die affine Funktion a ^T – b ist nicht positiv auf Menge C und nicht negativ auf Menge D.

Hyperebene { x | A ^T = b } wird als Teilungshyperebene der Mengen C und D bezeichnet, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Converse-Theorem

Umgekehrte trennende Hyperebenensätze:

Für zwei beliebige konvexe Mengen C und D, von denen mindestens eine offen ist, sind die Mengen C und D genau dann disjunkt, wenn zwischen ihnen eine trennende Hyperebene existiert.

Verwandte Wörter: affine Menge, konvexe Optimierung

Unterwort: Hyperebene