Positiv definite Matrixist eine symmetrische Matrix mit allen Eigenwerten größer als 0. Eine positiv definite Matrix in der linearen Algebra ist eine hermitesche Matrix mit ähnlichen Eigenschaften wie positive reelle Zahlen in komplexen Zahlen. Der lineare Operator, der einer positiv definiten Matrix entspricht, ist eine symmetrische positiv definite Bilinearform.

Positiv definite Matrixeigenschaften

• Die Determinante einer positiv definiten Matrix ist immer positiv;
• Eine reelle symmetrische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn A identisch mit der Einheitsmatrix ist;
• Wenn A eine positiv definite Matrix ist, dann ist auch die inverse Matrix von A eine positiv definite Matrix;
• Die Summe zweier positiv definiter Matrizen ist eine positiv definite Matrix;
• Das Produkt einer positiven reellen Zahl und einer positiv definiten Matrix ist eine positiv definite Matrix.

Positiv definite Matrixbestimmung

Gemäß der Definition und den Eigenschaften einer positiv definiten Matrix gibt es zwei Methoden, um die positive Definitheit der symmetrischen Matrix A zu bestimmen:

• Finden Sie alle Eigenwerte von A: Wenn alle Eigenwerte von A positiv sind, dann ist A positiv definit; wenn alle Eigenwerte von A negativ sind, dann ist A negativ definit;
• Berechnen Sie die Hauptminorwerte von A: Wenn die Hauptminorwerte von A alle größer als Null sind, dann ist A positiv definit; Wenn unter den Hauptminoren von A die Hauptminoren ungerader Ordnung negativ und die Hauptminoren gerader Ordnung positiv sind, dann ist A negativ definit.

Positiv definite Matrixanwendungen

Die Eigenschaften positiv definiter Matrizen, wie beispielsweise das Vorhandensein einer eindeutigen LDU-Zerlegung, können weiter in GGT zerlegt werden, wenn diese reell und symmetrisch ist, und die Dreieckszerlegung der Matrix kann den Rechenaufwand erheblich reduzieren. Die Kovarianzmatrix der Stichprobe ist eine reelle und symmetrische positiv definite Matrix.

Verwandte Wörter: Matrix, Eigenwert