Eigenzerlegung

Die Eigenzerlegung ist eine Methode zum Zerlegen einer Matrix in das Produkt von Matrizen, die durch Eigenwerte und Eigenvektoren dargestellt werden. Allerdings können nur diagonalisierbare Matrizen eine Eigenzerlegung durchführen.

Der Eigenwert kann als Skalierungsverhältnis der Länge des Eigenvektors bei linearer Änderung betrachtet werden. Wenn der Eigenwert positiv ist, bedeutet dies, dass die Richtung von $latex v $ nach der linearen Transformation unverändert bleibt; wenn der Eigenwert negativ ist, bedeutet dies, dass die Richtung umgekehrt wird; Wenn der Eigenwert 0 ist, bedeutet dies, dass er auf Null schrumpft.

Eigenzerlegung einer Standardmatrix

Angenommen, A ist eine quadratische Matrix von N x N mit N linear unabhängigen Eigenvektoren Qi (i = 1, 2, 3, ····, N), wobei A in $latex \mathbf{A}=\mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{-1} $ zerlegt werden kann.

Wobei Q eine N x N quadratische Matrix ist, deren i-te Spalte der Eigenvektor Qi von A ist, und Λ eine Diagonalmatrix ist, deren diagonale Elemente die entsprechenden Eigenwerte sind, d. h. $latex \Lambda_{ii}=\lambda_{i} $

Eigenzerlegung einer symmetrischen Matrix

Jede N x N reelle symmetrische Matrix hat N linear unabhängige Eigenvektoren, und sie können alle orthogonal normalisiert werden, um einen Satz orthogonaler Vektoren mit Modul 1 zu erhalten, sodass die symmetrische Matrix A in $latex \mathbf{A}=\mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^{T} $ zerlegt werden kann.

Eigenzerlegung einer normalen Matrix

In ähnlicher Weise hat eine komplexe Normalmatrix einen Satz orthogonaler Eigenvektorbasen, sodass die Normalmatrix in $latex \mathbf{A}=\mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^{H} $ zerlegt werden kann.

Wenn U eine unitäre Matrix ist, können wir schlussfolgern, dass, wenn A eine hermitesche Matrix ist, die Diagonalelemente der Diagonalmatrix Λ alle reelle Zahlen sind; Wenn A eine unitäre Matrix ist, werden alle Diagonalelemente von Λ auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene genommen.