Yongji Wang Mehdi Bennani James Martens Sébastien Racanière Sam Blackwell et al

Abstract

Ob Singularitäten in Fluiden entstehen können, bleibt eine grundlegende ungelöste Frage der Mathematik. Dieses Phänomen tritt auf, wenn Lösungen der zugrundeliegenden Gleichungen – beispielsweise der 3D-Euler-Gleichungen – von glatten Anfangsbedingungen ausgehend unendliche Gradienten entwickeln. Historisch gesehen haben numerische Ansätze vorwiegend stabile Singularitäten identifiziert. Für zentrale offene Probleme wie den singulärkeitsfreien Euler- und Navier-Stokes-Fall werden jedoch stabile Singularitäten nicht erwartet; stattdessen wird vermutet, dass instabile Singularitäten dort eine entscheidende Rolle spielen. In dieser Arbeit präsentieren wir erstmals die systematische Entdeckung neuer Familien instabiler Singularitäten. Eine stabile Singularität ist ein robustes Ergebnis, das auch bei geringfügigen Störungen der Anfangsbedingungen entsteht. Im Gegensatz dazu sind instabile Singularitäten äußerst schwer zu finden: Sie erfordern Anfangsbedingungen, die mit unendlicher Präzision abgestimmt sind, und befinden sich in einem Zustand der Instabilität, sodass bereits infinitesimale Störungen die Lösung sofort von ihrem Blow-up-Pfad ablenken. Insbesondere stellen wir mehrere neue, instabile selbstähnliche Lösungen für die inkompressible poröse Medien-Gleichung sowie die 3D-Euler-Gleichung mit Rand vor und entdecken eine einfache empirische asymptotische Formel, die die Blow-up-Rate mit der Ordnung der Instabilität verknüpft. Unser Ansatz kombiniert sorgfältig ausgewählte maschinelle Lernarchitekturen und Trainingsstrategien mit einem hochpräzisen Gauss-Newton-Optimierer und erreicht Genauigkeiten, die alle bisherigen Ergebnisse bei weitem übertreffen. Für bestimmte Lösungen erreichen wir nahezu die Genauigkeit des doppelten Gleitkommawerts (double-precision floating-point), wodurch die Genauigkeit nur noch durch die Rundungsfehler der GPU-Hardware begrenzt ist. Diese Präzision erfüllt die Anforderungen für eine rigorose mathematische Validierung mittels computerunterstützter Beweise. Diese Arbeit liefert ein neues Vorgehensmodell zur Erforschung der komplexen Landschaft nichtlinearer partieller Differentialgleichungen (PDEs) und zur Bewältigung langbestehender Herausforderungen der mathematischen Physik.