OGF: Eine Online-Gradientenflussmethode zur Optimierung der statistischen stationären Zeitmittelwerte unsteadiger turbulenter Strömungen

Turbulente Strömungen sind chaotisch und instabil, aber ihre statistische Verteilung nähert sich einem statistischen stationären Zustand an. Ingenieurwerte von Interesse nehmen in der Regel die Form zeitlich durchschnittlicher Statistiken an, wie zum Beispiel (\frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(u(x,\tau;\theta)) d\tau \rightarrow_{t \to \infty} F(x;\theta)), wobei (u(x,t;\theta)) Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen mit den Parametern (\theta) sind. Die Optimierung über (F(x;\theta)) hat viele ingenieurtechnische Anwendungen, darunter geometrische Optimierung, Strömungssteuerung und Modellierung von Abschlussbeziehungen. Allerdings bleibt dies eine offene Herausforderung, da existierende rechnergestützte Ansätze nicht in der Lage sind, auf physikalisch repräsentative Gitterpunktzahlen zu skalieren. Das grundlegende Hindernis ist die Chaotik turbulenter Strömungen: Gradienten, die mit der adjungierten Methode berechnet werden, divergieren exponentiell, wenn (t \to \infty). Wir entwickeln eine neue Online-Gradientenfluss-Methode (OGF), die für Systeme mit großer Freiheitsgradzahl skalierbar ist und es ermöglicht, die stationären Statistiken chaotischer, instabiler und turbulenz-auflösender Simulationen zu optimieren. Diese Methode propagiert eine Online-Schätzung des Gradienten von (F(x;\theta)) vorwärts, während sie gleichzeitig Online-Updates der Parameter (\theta) durchführt. Ein wesentlicher Aspekt ist das vollständig online-basierte Verfahren des Algorithmus zur Erleichterung schnellerer Optimierungsfortschritte und seine Kombination mit einem Differenzenquotientenschätzer zur Vermeidung der Divergenz von Gradienten aufgrund der Chaotik. Die vorgeschlagene OGF-Methode wird anhand von Optimierungen für drei chaotische gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen demonstriert: die Lorenz-63-Gleichung, die Kuramoto--Sivashinsky-Gleichung und Navier--Stokes-Lösungen kompressibler, erzwungener homogener isotroper Turbulenz. In jedem Fall reduziert die OGF-Methode den Verlust basierend auf (F(x;\theta)) um mehrere Größenordnungen und bestimmt die optimalen Parameter genau.