0-1-Phasenübergänge bei der Schätzung spärlicher gespikter Matrizen

Wir betrachten statistische Modelle zur Schätzung einer Rang-eins-Matrix (den „Spike“), die durch eine additive Gaußsche Rauschmatrix gestört ist, im sparsen Grenzfall. In diesem Grenzfall skaliert die Anzahl der nicht-verschwindenden Komponenten des zugrundeliegenden versteckten Vektors (der die Rang-eins-Matrix konstruiert) sublinear mit der Gesamtdimension des Vektors, während die Signalstärke in geeigneter Geschwindigkeit gegen Unendlich strebt. Wir beweisen explizite, niederdimensionale Variationsformeln für die asymptotische gegenseitige Information zwischen dem Spike und der beobachteten Rauschmatrix in geeigneten sparsen Grenzfällen. Für Vektoren mit Bernoulli- und Bernoulli-Rademacher-Verteilung implizieren diese Formeln, falls Sparsitätsgrad und Signalstärke einer geeigneten Skalierungsrelation genügen, scharfe 0-1-Phasenübergänge für die asymptotische minimale mittlere quadratische Fehlergröße. Ein ähnlicher Phasenübergang wurde kürzlich im Kontext von sparsen, hochdimensionalen linearen Regressionsmodellen (compressive sensing) analysiert.